Estudio completo de una función racional: asíntotas, monotonía y curvatura

**(a) (**1 punto**) Calcula el dominio de la función $f$ y sus asíntotas.** La función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}$ es una función racional. El dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto los valores que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los reales menos el 1. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser asíntotas verticales. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Para comprobar si hay una asíntota vertical en $x = 1$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 4}{1 - x} = \frac{1 - 4}{0^+} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 4}{1 - x} = \frac{1 - 4}{0^-} = \frac{-3}{0^-} = +\infty$$ Al ser los límites infinitos, confirmamos que existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (A. Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

Estudiamos la existencia de asíntota horizontal calculando el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4}{1 - x} = \mp\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos la asíntota oblicua $y = mx + n$. Al ser el grado del numerador exactamente uno mayor que el del denominador, sabemos que existirá. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x(1 - x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x - x^2} = -1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 4}{1 - x} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 4}{1 - x} + x\right)$$ Operamos la suma: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4 + x(1 - x)}{1 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4 + x - x^2}{1 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{1 - x} = -1$$ ✅ **Resultado (A. Oblicua):** $$\boxed{y = -x - 1}$$

**(b) (**1 punto**) Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Calculamos la primera derivada utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2x(1 - x) - (x^2 - 4)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2x - 2x^2 + x^2 - 4}{(1 - x)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 4}{(1 - x)^2}$$ Buscamos puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$-x^2 + 2x - 4 = 0$$ El discriminante es $\Delta = 2^2 - 4(-1)(-4) = 4 - 16 = -12 \lt 0$. No existen raíces reales. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos del dominio: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & \nexists & - \end{array} $$ Como $f'(x) \lt 0$ en todo el dominio, la función es **estrictamente decreciente** en $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ y **no existen máximos ni mínimos relativos**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } \mathbb{R} \setminus \{1\}. \text{ No hay extremos.}}$$

Para la curvatura, calculamos la segunda derivada derivando $f'(x) = \frac{-x^2 + 2x - 4}{(1 - x)^2}$: $$f''(x) = \frac{(-2x + 2)(1 - x)^2 - (-x^2 + 2x - 4) \cdot 2(1 - x)(-1)}{(1 - x)^4}$$ Simplificamos dividiendo por $(1 - x)$: $$f''(x) = \frac{(-2x + 2)(1 - x) + 2(-x^2 + 2x - 4)}{(1 - x)^3} = \frac{-2x + 2x^2 + 2 - 2x - 2x^2 + 4x - 8}{(1 - x)^3} = \frac{-6}{(1 - x)^3}$$ Como $f''(x) \neq 0$ para cualquier $x$, **no existen puntos de inflexión**. Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline -6 & - & - & -\\ (1-x)^3 & + & 0 & -\\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Cóncava hacia abajo (}\cap\text{) en } (-\infty, 1) \\ & \text{Cóncava hacia arriba (}\cup\text{) en } (1, +\infty) \\ & \text{Sin puntos de inflexión} \end{aligned}}$$

**(c) (**0.5 puntos**) Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.** Recopilamos información clave: - **Puntos de corte:** Con el eje $Y$ ($x=0$): $f(0) = -4$, es decir, $(0, -4)$. Con el eje $X$ ($f(x)=0$): $x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$, es decir, $(2, 0)$ y $(-2, 0)$. - **Asíntotas:** Vertical en $x=1$ y oblicua en $y = -x - 1$. - **Monotonía:** Siempre decreciente. - **Curvatura:** Cóncava hacia abajo antes de $x=1$ y hacia arriba después. Utilizamos estos elementos para trazar las dos ramas de la función.