Operaciones, rango y matriz inversa con parámetros

**(a) Decide de forma razonada si se pueden realizar las operaciones $CAB$ y $BAC$. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante?** Para que el producto de matrices sea posible, el número de columnas de la matriz de la izquierda debe ser igual al número de filas de la matriz de la derecha. Identificamos las dimensiones: - $A$ es una matriz de orden $3 \times 3$. - $B$ es una matriz de orden $1 \times 3$ (matriz fila). - $C$ es una matriz de orden $3 \times 1$ (matriz columna). Para la operación $CAB$, el primer producto sería $C \cdot A$: $$(3 \times 1) \cdot (3 \times 3)$$ Como el número de columnas de $C$ ($1$) no coincide con el número de filas de $A$ ($3$), el producto no está definido. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar $M_{m\times n} \cdot P_{p\times q}$ es requisito indispensable que $n = p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La operación } CAB \text{ no se puede realizar.}}$$

Analizamos ahora la operación $BAC$: 1. Primero, el producto $B \cdot A$: $$(1 \times 3) \cdot (3 \times 3)$$ Es posible porque $3=3$. El resultado $(BA)$ tendrá dimensión $1 \times 3$. 2. Segundo, multiplicamos el resultado por $C$: $$(BA) \cdot C \rightarrow (1 \times 3) \cdot (3 \times 1)$$ Es posible porque $3=3$. El resultado final tendrá dimensión $1 \times 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La operación } BAC \text{ es posible y su dimensión es } 1 \times 1}$$

**(b) Calcula el rango de $A$ según los valores de $x$. Para $x = 0$, comprueba que existe $A^{-1}$ y calcúlala.** El rango de una matriz cuadrada es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ en función de $x$. Desarrollamos por la segunda columna aprovechando los ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & x \end{vmatrix}$$ $$|A| = -2 \cdot [(-1 \cdot x) - (3 \cdot 2)] = -2 \cdot (-x - 6) = 2x + 12$$ 💡 **Tip:** Al desarrollar por una columna, recuerda aplicar el signo correspondiente al elemento según su posición $(-1)^{i+j}$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2x + 12 = 0 \implies x = -6$$ - **Si $x \neq -6$**: El determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$), por lo que el rango es máximo. $$\text{rango}(A) = 3$$ - **Si $x = -6$**: El determinante es cero ($|A| = 0$), el rango será menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } x \neq -6, \text{rg}(A)=3; \text{ si } x = -6, \text{rg}(A)=2}$$

Para $x = 0$, sustituimos en la expresión del determinante calculada anteriormente: $$|A| = 2(0) + 12 = 12$$ Como $|A| = 12 \neq 0$, la matriz $A$ es regular (invertible), por lo tanto **existe $A^{-1}$**. La matriz para este caso es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Calculamos los adjuntos $A_{ij}$ de cada elemento de la matriz $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-6) = 6$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -6$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 + 3) = -6$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 0 \\ 0 & -6 & 4 \\ 6 & -6 & 2 \end{pmatrix}$$

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj } A)^T$$ Primero trasponemos la matriz adjunta: $$(\text{Adj } A)^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 6 & -6 & -6 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento por el determinante $|A|=12$: $$A^{-1} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 6 & -6 & -6 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1/3 & 1/6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar el resultado multiplicando $A \cdot A^{-1} = I$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1/3 & 1/6 \end{pmatrix}}$$