Problema de producción de cerámica

**a) Plantee el sistema de ecuaciones que modela el problema y su forma matricial.** Primero, definimos las variables que representan la cantidad de cada producto: - $x$: número de tazas producidas. - $y$: número de platos producidos. - $z$: número de teteras producidas. Traducimos la información del enunciado a ecuaciones lineales: 1. **Tiempo de producción:** $5$ min/taza, $4$ min/plato y $8$ min/tetera para un total de $50$ min. $$5x + 4y + 8z = 50$$ 2. **Coste del material:** $3$ €/taza, $4$ €/plato y $3$ €/tetera para un total de $26$ €. $$3x + 4y + 3z = 26$$ El sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} 5x + 4y + 8z = 50 \\ 3x + 4y + 3z = 26 \end{cases}$$ Escrito en forma matricial $A \cdot X = B$: $$\boxed{\begin{pmatrix} 5 & 4 & 8 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 26 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma matricial, la matriz $A$ contiene los coeficientes de las incógnitas, $X$ es el vector de incógnitas y $B$ es el vector de términos independientes.

**b) Calcule el número de unidades producidas si se fabricaron $8$ piezas en total.** Si se fabricaron $8$ piezas en total, añadimos la ecuación $x + y + z = 8$ al sistema anterior: $$\begin{cases} (1) \quad 5x + 4y + 8z = 50 \\ (2) \quad 3x + 4y + 3z = 26 \\ (3) \quad x + y + z = 8 \end{cases}$$ Para resolverlo, despejamos $y$ de la ecuación (3): $$y = 8 - x - z$$ Sustituimos este valor en las ecuaciones (1) y (2) para reducir el sistema a dos incógnitas.

Sustituimos $y = 8 - x - z$ en las otras ecuaciones: - En la (1): $$5x + 4(8 - x - z) + 8z = 50 \Rightarrow 5x + 32 - 4x - 4z + 8z = 50 \Rightarrow x + 4z = 18$$ - En la (2): $$3x + 4(8 - x - z) + 3z = 26 \Rightarrow 3x + 32 - 4x - 4z + 3z = 26 \Rightarrow -x - z = -6 \Rightarrow x + z = 6$$ Ahora resolvemos el sistema de dos variables: $$\begin{cases} x + 4z = 18 \\ x + z = 6 \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera para eliminar $x$: $$(x + 4z) - (x + z) = 18 - 6 \Rightarrow 3z = 12 \Rightarrow z = 4$$ Sustituyendo $z = 4$ en $x + z = 6$: $$x + 4 = 6 \Rightarrow x = 2$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 8 - 2 - 4 \Rightarrow y = 2$$ ✅ **Resultado:** Se produjeron **2 tazas, 2 platos y 4 teteras**. $$\boxed{x = 2, \, y = 2, \, z = 4}$$

**c) ¿Sería posible fabricar exactamente $10$ piezas si el tiempo de producción de una tetera bajara a $5$ minutos?** Planteamos el nuevo sistema con los cambios indicados (tiempo de tetera $5$ min y total de piezas $10$): 1. **Tiempo:** $5x + 4y + 5z = 50$ 2. **Coste:** $3x + 4y + 3z = 26$ 3. **Total:** $x + y + z = 10$ Para comprobar la viabilidad, restamos la ecuación (2) a la ecuación (1): $$(5x + 4y + 5z) - (3x + 4y + 3z) = 50 - 26$$ $$2x + 2z = 24 \Rightarrow x + z = 12$$ Sustituimos este valor ($x + z = 12$) en la ecuación del total de piezas (3): $$(x + z) + y = 10 \Rightarrow 12 + y = 10 \Rightarrow y = -2$$ Dado que el número de unidades producidas ($y$) no puede ser negativo en un contexto real, ✅ **Conclusión:** **No sería posible** fabricar exactamente 10 piezas bajo esas condiciones. $$\boxed{\text{No es posible, ya que } y = -2 \lt 0}$$