Probabilidad y distribuciones binomial y normal en el mercado de café

Primero, definimos los sucesos y extraemos la información del enunciado para trabajar con probabilidades: - $T$: el individuo compra café torrefacto. - $N_{at}$: el individuo compra café natural. Datos: - Total de individuos ($N$): $10\,000$ - $n(T) = 8\,000 \implies P(T) = \frac{8\,000}{10\,000} = 0.8$ - $n(N_{at}) = 4\,000 \implies P(N_{at}) = \frac{4\,000}{10\,000} = 0.4$ - $n(T \cap N_{at}) = 3\,000 \implies P(T \cap N_{at}) = \frac{3\,000}{10\,000} = 0.3$ Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor los datos: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & N_{at} & \overline{N_{at}} & \text{Total} \\ \hline T & 3\,000 & 5\,000 & 8\,000 \\ \hline \overline{T} & 1\,000 & 1\,000 & 2\,000 \\ \hline \text{Total} & 4\,000 & 6\,000 & 10\,000 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con intersecciones y totales, una tabla de contingencia ayuda a evitar errores de cálculo.

**a) Si se elige un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre alguno de los dos tipos de café?** Se nos pide la probabilidad de que ocurra el suceso $T$ o el suceso $N_{at}$ (o ambos), lo cual corresponde a la unión de sucesos $P(T \cup N_{at})$. Utilizamos la fórmula general de la unión: $$P(T \cup N_{at}) = P(T) + P(N_{at}) - P(T \cap N_{at})$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(T \cup N_{at}) = 0.8 + 0.4 - 0.3 = 0.9$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cup N_{at}) = 0.9}$$ La probabilidad de que compre alguno de los dos es del **90%**.

**b) Se seleccionan 100 individuos con repetición. Calcule, aproximando por una normal, la probabilidad de que no más de 50 individuos compren café natural.** Tenemos una distribución Binomial $X \sim B(n, p)$ donde: - $n = 100$ (número de individuos seleccionados). - $p = P(N_{at}) = 0.4$ (probabilidad de comprar café natural). - $q = 1 - p = 0.6$. Para aproximar por una Normal $N(\mu, \sigma)$, comprobamos si se cumplen las condiciones: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.4 = 40 \ge 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.6 = 60 \ge 5$ Como se cumplen, calculamos los parámetros de la Normal: - Media: $\mu = n \cdot p = 40$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.899$ Por tanto, la variable discreta $X$ se aproxima por una variable continua $X' \sim N(40, 4.899)$.

Queremos calcular la probabilidad de que "no más de 50" compren café natural, es decir, $P(X \le 50)$. Al pasar de una distribución discreta a una continua, aplicamos la **corrección por continuidad de Yates**: $$P(X \le 50) \approx P(X' \le 50.5)$$ Ahora realizamos la **tipificación** para poder usar la tabla de la Normal Estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P(X' \le 50.5) = P\left(Z \le \frac{50.5 - 40}{4.899}\right) = P\left(Z \le \frac{10.5}{4.899}\right) \approx P(Z \le 2.14)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aproximar $P(X \le k)$ por una normal, sumamos $0.5$ al valor de $k$ para cubrir el área completa del rectángulo de la distribución discreta.

Buscamos el valor de la probabilidad para $Z = 2.14$ en la tabla de la distribución Normal Estándar: $$P(Z \le 2.14) = 0.9838$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 50) \approx 0.9838}$$ La probabilidad aproximada es del **98.38%**.

**c) Si sólo se seleccionasen 10 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que 5 compren café natural?** En este caso el tamaño de la muestra es pequeño ($n = 10$), por lo que usamos la fórmula de la probabilidad puntual de la Binomial $X \sim B(10, 0.4)$: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k = 5$: $$P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^{10-5}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$$ Operamos los valores: $$P(X = 5) = 252 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^5 = 252 \cdot 0.01024 \cdot 0.07776 \approx 0.2007$$ 💡 **Tip:** Para $n$ pequeño no se debe usar la aproximación normal, se debe aplicar la fórmula exacta de la Binomial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 5) \approx 0.2007}$$ La probabilidad de que exactamente 5 compren café natural es del **20.07%**.