Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Cursos ChatGPT e IA

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $C$: El trabajador ha realizado el curso 'ChatGPT'. - $\bar{C}$: El trabajador no ha realizado el curso 'ChatGPT'. - $I$: El trabajador ha realizado el curso 'IA'. - $\bar{I}$: El trabajador no ha realizado el curso 'IA'. De los datos del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(C) = 0.55 \implies P(\bar{C}) = 1 - 0.55 = 0.45$ - $P(I|C) = 0.30 \implies P(\bar{I}|C) = 1 - 0.30 = 0.70$ - $P(I|\bar{C}) = 0.40 \implies P(\bar{I}|\bar{C}) = 1 - 0.40 = 0.60$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con sucesos encadenados, identificar qué es la condición (el 'si...') es clave para no confundir $P(A|B)$ con $P(B|A)$.

Utilizamos un diagrama de árbol para visualizar todas las posibles combinaciones y sus probabilidades conjuntas:

**(a) (1.25 puntos) Tomado un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado el curso ‘IA’?** Para calcular la probabilidad de que haya realizado el curso de IA, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un trabajador puede haber hecho el curso de IA habiendo hecho previamente el de ChatGPT o sin haberlo hecho. $$P(I) = P(C) \cdot P(I|C) + P(\bar{C}) \cdot P(I|\bar{C})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(I) = 0.55 \cdot 0.30 + 0.45 \cdot 0.40$$ $$P(I) = 0.165 + 0.18$$ $$P(I) = 0.345$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las 'ramas' del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $I$). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(I) = 0.345}$$ (o lo que es lo mismo, un **34.5 %**)

**(b) (1.25 puntos) Si un trabajador elegido al azar no ha hecho el curso ‘IA’ ¿cuál es la probabilidad de que sí tenga el curso de ‘ChatGPT’?** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(C|\bar{I})$. Para ello, utilizaremos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(C|\bar{I}) = \frac{P(C \cap \bar{I})}{P(\bar{I})}$$ Primero, calculamos el denominador $P(\bar{I})$ (probabilidad de no haber hecho el curso de IA). Podemos usar el suceso contrario al calculado en el apartado (a): $$P(\bar{I}) = 1 - P(I) = 1 - 0.345 = 0.655$$ Ahora calculamos el numerador $P(C \cap \bar{I})$: $$P(C \cap \bar{I}) = P(C) \cdot P(\bar{I}|C) = 0.55 \cdot 0.70 = 0.385$$ Finalmente, calculamos la división: $$P(C|\bar{I}) = \frac{0.385}{0.655} \approx 0.5878$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite 'invertir' la condición, calculando la causa (ChatGPT) dado un efecto observado (no IA). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(C|\bar{I}) \approx 0.5878}$$ (aproximadamente un **58.78 %**)