Geometría en el espacio: Coplanaridad, rectas y planos

**(a) (0.75 puntos) Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.** Para que cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ sean coplanarios, los vectores formados por ellos deben ser linealmente dependientes. Construimos los vectores tomando $A$ como origen: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 1, 2 - 1) = (0, -1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 1, 1 - 1, 3 - 1) = (-2, 0, 2)$$ $$\vec{AD} = D - A = (-1 - 1, 0 - 1, 1 - 1) = (-2, -1, 0)$$ Calculamos el determinante formado por estos tres vectores (producto mixto): $$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\det = [0 \cdot 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) \cdot (-1)] - [1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-2) \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot (-1)]$$ $$\det = [0 + 4 + 2] - [0 + 0 + 0] = 6$$ Como el determinante es **distinto de cero** ($6 \neq 0$), los vectores son linealmente independientes. Esto significa que los puntos no están en el mismo plano. 💡 **Tip:** Si el producto mixto de tres vectores es distinto de cero, estos forman un paralelepípedo de volumen no nulo, lo que implica que no son coplanarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe un plano que contenga a los cuatro puntos.}}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A$, $B$ y $C$.** Primero, hallamos el vector normal al plano $\pi$, que viene dado por el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(-2 - 0) - \mathbf{j}(0 - (-2)) + \mathbf{k}(0 - 2) = -2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (-2, -2, -2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{v} = (1, 1, 1)$. **Ecuación del plano $\pi$:** Como pasa por $A(1, 1, 1)$, su ecuación es $1(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 \implies x + y + z - 3 = 0$. **Ecuación de la recta $r$:** La recta $r$ pasa por $D(-1, 0, 1)$ y es perpendicular a $\pi$. Por tanto, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ coincide con el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. En forma continua: $$r \equiv \frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 1}{1} \implies x + 1 = y = z - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano es el vector director de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv x + 1 = y = z - 1}$$ *(Nota: Aunque el enunciado de (c) propone otras ecuaciones, estos son los resultados derivados de los puntos dados en (a).)*

**(c) (1 punto) Calcula el punto $P$ intersección de $r \equiv x + 1 = -y = z - 1$ y $\pi \equiv x - y - z = 1$ del apartado anterior.** Para hallar la intersección, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas igualando la forma continua a un parámetro $\lambda$: $$x + 1 = \lambda \implies x = -1 + \lambda$$ $$-y = \lambda \implies y = -\lambda$$ $$z - 1 = \lambda \implies z = 1 + \lambda$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi \equiv x - y - z = 1$: $$(-1 + \lambda) - (-\lambda) - (1 + \lambda) = 1$$ $$-1 + \lambda + \lambda - 1 - \lambda = 1$$ $$\lambda - 2 = 1 \implies \lambda = 3$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo $\lambda = 3$ en las paramétricas: $$x = -1 + 3 = 2$$ $$y = -3$$ $$z = 1 + 3 = 4$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección recta-plano, la forma más rápida es pasar la recta a paramétricas y sustituir en la general del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = (2, -3, 4)}$$