Simetría respecto a un plano y área de un triángulo en el espacio

**(a) (1.5 puntos) Calcula el punto $B$ simétrico de $A$ respecto de $\pi$.** Para calcular el punto simétrico $B$ de $A$ respecto al plano $\pi$, seguiremos estos pasos: 1. Determinamos la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $A$. 2. Hallamos el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ se conoce como la proyección ortogonal de $A$ sobre $\pi$. 3. Como $M$ es el punto medio del segmento $AB$, despejamos las coordenadas de $B$. Del plano $\pi: x + y + z + 3 = 0$, extraemos su vector normal: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $\vec{n} = (A, B, C)$. Este vector es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.

La recta $r$ tiene como vector director al vector normal del plano $\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$ y pasa por $A(0, -1, 1)$. Su ecuación paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = 0 + \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ Buscamos el punto $M$ sustituyendo las coordenadas de la recta en la ecuación del plano $\pi$: $$(0 + \lambda) + (-1 + \lambda) + (1 + \lambda) + 3 = 0$$ $$3\lambda + 3 = 0 \implies 3\lambda = -3 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $r$ para obtener $M$: $$x_M = -1$$ $$y_M = -1 + (-1) = -2$$ $$z_M = 1 + (-1) = 0$$ $$\text{Punto de intersección: } M(-1, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es el pie de la perpendicular desde $A$ al plano, y actúa como centro de simetría entre $A$ y su simétrico $B$.

Puesto que $M$ es el punto medio del segmento $AB$, se cumple la relación vectorial: $$M = \frac{A + B}{2} \implies B = 2M - A$$ Calculamos las coordenadas de $B(x_B, y_B, z_B)$: $$x_B = 2(-1) - 0 = -2$$ $$y_B = 2(-2) - (-1) = -4 + 1 = -3$$ $$z_B = 2(0) - 1 = -1$$ Por tanto, el punto simétrico es $B(-2, -3, -1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = (-2, -3, -1)}$$

**(b) (1 puntos) Calcula el área del triángulo plano cuyos vértices son $A$, $C = (-2, -3, 1)$ y el origen de coordenadas.** Los vértices del triángulo son: - $O = (0, 0, 0)$ - $A = (0, -1, 1)$ - $C = (-2, -3, 1)$ Utilizaremos los vectores que parten del origen $O$ hacia los otros dos vértices: $$\vec{OA} = (0, -1, 1)$$ $$\vec{OC} = (-2, -3, 1)$$ La fórmula del área de un triángulo en el espacio dada por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que comparten un vértice es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \|\vec{OA} \times \vec{OC}\|$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman. La mitad de ese valor es el área del triángulo.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{OA} \times \vec{OC}$ mediante el determinante: $$\vec{OA} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i} [(-1)(1) - (1)(-3)] - \vec{j} [(0)(1) - (1)(-2)] + \vec{k} [(0)(-3) - (-1)(-2)]$$ $$\vec{w} = \vec{i} (-1 + 3) - \vec{j} (0 + 2) + \vec{k} (0 - 2)$$ $$\vec{w} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - 2\vec{k} = (2, -2, -2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial es un vector perpendicular al plano que contiene a los otros dos vectores.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$\|\vec{OA} \times \vec{OC}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$ Aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ unidades}^2$$ Numéricamente, el área es aproximadamente $1.732$ u². ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{3} \text{ u}^2}$$