Cálculo de primitivas y áreas con funciones trigonométricas

**(a) Calcula una primitiva que pase por el punto $(0, 1)$.** Para encontrar la primitiva, debemos calcular la integral indefinida de la función $f(x) = \cos(2x)$. $$F(x) = \int \cos(2x) \, dx$$ Se trata de una integral casi inmediata del tipo $\int \cos(f(x))f'(x) dx$. Necesitamos que aparezca la derivada del argumento ($2x$), que es $2$, dentro de la integral: $$F(x) = \frac{1}{2} \int 2\cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \text{sen}(2x) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \text{sen}(ax) + C$. En este caso $a=2$. $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \text{sen}(2x) + C}$$

Utilizamos la condición de que la primitiva pasa por el punto $(0, 1)$, lo que implica que $F(0) = 1$. Sustituimos $x=0$ en la expresión obtenida e igualamos a $1$: $$F(0) = \frac{1}{2} \text{sen}(2 \cdot 0) + C = 1$$ $$\frac{1}{2} \text{sen}(0) + C = 1$$ $$0 + C = 1 \implies C = 1$$ Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión general, obtenemos la primitiva buscada. ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \text{sen}(2x) + 1}$$

**(b) Calcula el área limitada por $f$, el eje X y las rectas $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$.** Antes de integrar para hallar el área, debemos comprobar si la función $f(x) = \cos(2x)$ corta al eje $X$ en el intervalo $[0, \pi/2]$. Igualamos la función a cero: $$\cos(2x) = 0$$ Los valores de ángulo donde el coseno es cero son $\frac{\pi}{2} + k\pi$. Por tanto: $$2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$$ Como $x = \frac{\pi}{4}$ pertenece al intervalo $(0, \pi/2)$, la función cambia de signo en ese punto y debemos dividir la integral en dos partes. 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Al dividir la integral, calcularemos el valor absoluto de cada recinto para asegurar un área total positiva.

El área total se divide en dos recintos: de $0$ a $\frac{\pi}{4}$ y de $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{\pi}{2}$. $$\text{Área} = \int_{0}^{\pi/4} \cos(2x) \, dx + \left| \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos(2x) \, dx \right|$$ Utilizamos la regla de Barrow. Como vimos en el apartado anterior, la primitiva de $\cos(2x)$ es $\frac{1}{2}\text{sen}(2x)$. $$\text{Área} = \left[ \frac{1}{2}\text{sen}(2x) \right]_{0}^{\pi/4} + \left| \left[ \frac{1}{2}\text{sen}(2x) \right]_{\pi/4}^{\pi/2} \right|$$

Evaluamos los límites de integración paso a paso: Para el primer intervalo: $$\left[ \frac{1}{2}\text{sen}(2x) \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2}\text{sen}(0) = \frac{1}{2}(1) - 0 = \frac{1}{2}$$ Para el segundo intervalo: $$\left[ \frac{1}{2}\text{sen}(2x) \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\text{sen}(\pi) - \frac{1}{2}\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$$ Sumamos los valores absolutos: $$\text{Área} = \frac{1}{2} + \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$