Estudio de una función racional: asíntotas, extremos y curvatura

**(a) (1 punto) Calcula el dominio de la función $f$ y sus asíntotas.** La función $f(x) = \frac{x - 4}{1 - x}$ es una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ **Asíntotas Verticales (A.V.):** Comprobamos el límite cuando $x$ tiende a $1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 4}{1 - x} = \frac{-3}{0} = \infty$$ Calculamos los límites laterales para conocer el comportamiento de la función: - $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 4}{1 - x} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 4}{1 - x} = \frac{-3}{0^-} = +\infty$ 💡 **Tip:** Existe una asíntota vertical en $x = a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. ✅ **Resultado (Dominio y A.V.):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}; \quad \text{A.V.: } x = 1}$$

**Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 4}{1 - x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{-x} = -1$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en $y = -1$. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Al existir una asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$, no pueden existir asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la A.H. es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (A.H.):** $$\boxed{\text{A.H.: } y = -1; \quad \text{A.O.: No existen}}$$

**(b) (1 punto) Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ mediante la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x-4)'(1-x) - (x-4)(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{1(1-x) - (x-4)(-1)}{(1-x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1-x + x-4}{(1-x)^2} = \frac{-3}{(1-x)^2}$$ Buscamos puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$\frac{-3}{(1-x)^2} = 0 \implies -3 \neq 0$$ No existen puntos donde la derivada sea cero, por lo que **no hay máximos ni mínimos relativos**. **Estudio del signo de $f'(x)$:** El denominador $(1-x)^2$ siempre es positivo en su dominio. El numerador es $-3$ (negativo). Por tanto, $f'(x) \lt 0$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$. $$\begin{array}{c|c|c|c} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en: } (-\infty, 1) \cup (1, +\infty); \quad \text{No existen máximos ni mínimos}}$$

Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ derivando $f'(x) = -3(1-x)^{-2}$: $$f''(x) = (-3)(-2)(1-x)^{-3}(-1) = -6(1-x)^{-3} = \frac{-6}{(1-x)^3}$$ Buscamos puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$\frac{-6}{(1-x)^3} = 0 \implies -6 \neq 0$$ No hay puntos de inflexión (el cambio de signo ocurre en $x=1$, que no pertenece al dominio). **Estudio del signo de $f''(x)$:** El signo depende del término $(1-x)^3$: - Si $x \lt 1 \implies 1-x \gt 0 \implies f''(x) = \frac{-}{+} \lt 0$ (**Convexa** o cóncava hacia abajo). - Si $x \gt 1 \implies 1-x \lt 0 \implies f''(x) = \frac{-}{-} \gt 0$ (**Cóncava** o cóncava hacia arriba). $$\begin{array}{c|c|c|c} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \cap & \nexists & \cup \end{array}$$ ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Convexa (}\cap\text{): } (-\infty, 1); \quad \text{Cóncava (}\cup\text{): } (1, +\infty); \quad \text{Puntos inflexión: Ninguno}}$$

**(c) (0.5 puntos) Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.** Para el esbozo, situamos las asíntotas $x=1$ y $y=-1$, y los puntos de corte con los ejes: - Corte eje $Y$ ($x=0$): $f(0) = \frac{-4}{1} = -4 \implies (0, -4)$ - Corte eje $X$ ($f(x)=0$): $x-4 = 0 \implies x = 4 \implies (4, 0)$ La función es siempre decreciente, aproximándose a las asíntotas según los límites calculados.