Rango de una matriz y propiedades de los determinantes

**a) Estudio del rango de la matriz $A$ según los valores de $x$. Para $x = 1$, comprobar existencia de $A^{-1}$ y calcularla.** Para determinar el rango, primero calculamos el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $x$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & x \end{pmatrix}$$ Aplicando el desarrollo por la tercera columna (que contiene un cero para simplificar): $$\det(A) = -2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + x \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = -2 \cdot (-4 - (-3)) + x \cdot (3 - 4)$$ $$\det(A) = -2 \cdot (-1) + x \cdot (-1) = 2 - x$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Para una matriz $3 \times 3$, si $\det(A) \neq 0$, el rango es 3. $$\boxed{\det(A) = 2 - x}$$

Estudiamos cuándo el determinante se anula: $$2 - x = 0 \implies x = 2$$ - **Si $x \neq 2$**: El determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Por tanto, el rango de la matriz es el máximo posible para una matriz de orden 3. $$\text{rg}(A) = 3$$ - **Si $x = 2$**: El determinante es cero ($\det(A) = 0$), por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4 + 3 = -1 \neq 0$$ Al existir al menos un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. $$\text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } x \neq 2, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } x = 2, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

Para $x = 1$, el determinante es $\det(A) = 2 - 1 = 1$. Como $\det(A) \neq 0$, la matriz es regular y **existe $A^{-1}$**. La matriz es: $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Calculamos la matriz inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)^T$. Calculamos los cofactores $C_{ij}$: - $C_{11} = +(-3) = -3$; $C_{12} = -(-2) = 2$; $C_{13} = +(-4+3) = -1$ - $C_{21} = -(-2) = -2$; $C_{22} = +(-1+2) = 1$; $C_{23} = -(-2+2) = 0$ - $C_{31} = +(0-6) = -6$; $C_{32} = -(0-4) = 4$; $C_{33} = +(3-4) = -1$ La matriz adjunta (traspuesta de los cofactores) es: $$\text{adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -6 \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Como $\det(A) = 1$, la inversa coincide con la adjunta traspuesta. ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -6 \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) Cálculo de $\det(AB)$ y razonamiento de $\det\left(\frac{1}{5}AB\right)$ sabiendo que $\det(B) = 5$.** Utilizamos la propiedad del determinante del producto de dos matrices cuadradas: $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$. Asumiendo que mantenemos el valor de $x = 1$ del apartado anterior (donde $\det(A) = 1$) y dado que el enunciado indica $\det(B) = 5$: $$\det(AB) = 1 \cdot 5 = 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, pero esto no se cumple para la suma. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(AB) = 5}$$

Para una matriz $M$ de orden $n \times n$ y un escalar $k$, se cumple la propiedad: $\det(k \cdot M) = k^n \cdot \det(M)$. En este problema, $A$ y $B$ son matrices de orden $3 \times 3$, por lo que su producto $AB$ también es una matriz de orden $n=3$. El escalar es $k = \frac{1}{5}$. $$\det\left(\frac{1}{5}AB\right) = \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \det(AB)$$ $$\det\left(\frac{1}{5}AB\right) = \frac{1}{125} \cdot 5 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$$ En valor decimal, esto es $0.04$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\det\left(\frac{1}{5}AB\right) = \frac{1}{25}}$$