Sistema de ecuaciones: consumo de alimentos por razas de perros

**(a) (0.75 puntos) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice este problema y escríbelo matricialmente.** Primero, definimos las variables de nuestro problema: - $x$: número de perros de la raza 1. - $y$: número de perros de la raza 2. - $z$: número de perros de la raza 3. A partir de la información del enunciado, organizamos el consumo por tipo de alimento: - **Alimento A:** $2x + 1y + 3z = 410$ - **Alimento B:** $0x + 0y + 1z = 30$ (Solo la raza 3 consume alimento B) - **Alimento C:** $1x + 1y + 3z = 310$ El sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 410 \\ z = 30 \\ x + y + 3z = 310 \end{cases}$$ La expresión matricial del sistema $A \cdot X = B$ es: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 410 \\ 30 \\ 310 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma matricial, cada fila de la matriz $A$ representa una ecuación y cada columna una variable ($x, y, z$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 410 \\ 30 \\ 310 \end{pmatrix}}$$

**(b) (1 punto) ¿Cuántos ejemplares de cada raza puede coexistir en la protectora?** Para resolver el sistema, aprovechamos que la segunda ecuación ya nos da directamente el valor de una incógnita: $$z = 30$$ Sustituimos $z = 30$ en las otras dos ecuaciones: 1) $2x + y + 3(30) = 410 \implies 2x + y + 90 = 410 \implies 2x + y = 320$ 2) $x + y + 3(30) = 310 \implies x + y + 90 = 310 \implies x + y = 220$ Ahora resolvemos este sistema de dos ecuaciones por reducción, restando la segunda a la primera: $$(2x + y) - (x + y) = 320 - 220$$ $$x = 100$$ Finalmente, calculamos $y$ sustituyendo $x$ en $x + y = 220$: $$100 + y = 220 \implies y = 120$$ 💡 **Tip:** Para verificar la solución, sustituye los valores hallados en cualquiera de las ecuaciones originales. Por ejemplo: $2(100) + 120 + 3(30) = 200 + 120 + 90 = 410$. Correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 100 \text{ (raza 1), } y = 120 \text{ (raza 2), } z = 30 \text{ (raza 3)}}$$

**(c) (0.75 puntos) Si la raza 2 consumiese 1 unidad del alimento B, ¿existiría otra distribución del número de ejemplares de cada raza que permitiese mantener las unidades compradas cada semana?** Si la raza 2 consume 1 unidad de B, la ecuación del alimento B cambia. El nuevo sistema sería: - **Alimento A:** $2x + y + 3z = 410$ - **Alimento B:** $y + z = 30$ (Ahora la raza 2 también consume B) - **Alimento C:** $x + y + 3z = 310$ Resolvemos de nuevo. Restamos la ecuación de C a la de A para hallar $x$: $$(2x + y + 3z) - (x + y + 3z) = 410 - 310 \implies x = 100$$ Ahora usamos la ecuación de B para despejar $y$ en función de $z$: $$y = 30 - z$$ Sustituimos $x = 100$ y $y = 30 - z$ en la ecuación del alimento C: $$100 + (30 - z) + 3z = 310$$ $$130 + 2z = 310$$ $$2z = 180 \implies z = 90$$ Calculamos el valor de $y$: $$y = 30 - 90 = -60$$ Como $y$ representa el número de perros de la raza 2, no puede ser un valor negativo ($y \ge 0$). 💡 **Tip:** En problemas de contextos reales como poblaciones o unidades físicas, las soluciones deben pertenecer al conjunto de los números naturales o ser no negativas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe tal distribución, ya que el número de perros de la raza 2 sería negativo (-60).}}$$