Distribución Binomial y Notas de Matemáticas II

**(a) (0,8 puntos) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5?** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que cuenta el número de éxitos en nuestro experimento. En este caso, el enunciado pregunta por exámenes con nota inferior a $5$. - $X$: número de exámenes con nota inferior a $5$ de un total de $15$. - El número de ensayos es $n = 15$. - La probabilidad de éxito $p$ es la probabilidad de que un examen tenga nota inferior a $5$. Como nos dicen que el $84\%$ obtuvo nota mayor o igual a $5$ ($P(\ge 5) = 0.84$), entonces: $$p = 1 - 0.84 = 0.16$$ - La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0.84$. Como cada examen es independiente y solo hay dos resultados posibles (inferior a $5$ o no), la variable sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(15, 0.16)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una distribución binomial $B(n, p)$, la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos viene dada por: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.

Aplicamos la fórmula de la binomial para $k = 2$: $$P(X = 2) = \binom{15}{2} \cdot 0.16^2 \cdot 0.84^{15-2}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{15}{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105$$ Sustituimos y operamos: $$P(X = 2) = 105 \cdot 0.16^2 \cdot 0.84^{13}$$ $$P(X = 2) \approx 105 \cdot 0.0256 \cdot 0.10367$$ $$P(X = 2) \approx 0.2787$$ ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{P(X = 2) \approx 0.2787}$$ *(Nota: dependiendo del redondeo de las potencias, el valor puede variar ligeramente en el cuarto decimal)*

**(b) (1,2 puntos) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5?** Para comparar, calculamos primero la probabilidad de que **menos de 2** exámenes tengan nota inferior a $5$, es decir, $P(X \lt 2)$: $$P(X \lt 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$$ Calculamos cada una: - Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0.16^0 \cdot 0.84^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0.84^{15} \approx 0.0871$$ - Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0.16^1 \cdot 0.84^{14} = 15 \cdot 0.16 \cdot 0.84^{14} \approx 0.2488$$ Sumamos ambos valores: $$P(X \lt 2) \approx 0.0871 + 0.2488 = 0.3359$$ 💡 **Tip:** En una binomial, $P(X < k)$ significa sumar todas las probabilidades desde $0$ hasta $k-1$.

Ahora calculamos la probabilidad de que **más de 2** exámenes tengan nota inferior a $5$, es decir, $P(X \gt 2)$. Utilizamos el suceso contrario para evitar calcular todos los casos desde $k=3$ hasta $15$: $$P(X \gt 2) = 1 - P(X \le 2)$$ $$P(X \gt 2) = 1 - [P(X \lt 2) + P(X = 2)]$$ Utilizando los valores obtenidos en los pasos anteriores: - $P(X \lt 2) \approx 0.3359$ - $P(X = 2) \approx 0.2787$ (calculado en el apartado a) $$P(X \gt 2) \approx 1 - [0.3359 + 0.2787]$$ $$P(X \gt 2) \approx 1 - 0.6146$$ $$P(X \gt 2) \approx 0.3854$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso contrario $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ es fundamental para simplificar cálculos cuando el número de casos favorables es muy grande.

Comparamos ambos resultados: - $P(\text{menos de 2}) = P(X \lt 2) \approx 0.3359$ - $P(\text{más de 2}) = P(X \gt 2) \approx 0.3854$ Como $0.3854 \gt 0.3359$, concluimos que es más probable que haya más de 2 exámenes con nota inferior a $5$. ✅ **Resultado del apartado (b):** $$\boxed{\text{Es más probable que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5}}$$