Dependencia lineal y área del triángulo

**(a) (1 punto) Estudia si los vectores $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ son linealmente independientes.** Primero, calculamos las componentes de cada vector restando las coordenadas del punto de origen a las del punto de destino: - $\vec{v}_1 = \vec{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 2, -1 - 3) = (0, -2, -4)$ - $\vec{v}_2 = \vec{BC} = C - B = (2 - 1, 2 - 0, 2 - (-1)) = (1, 2, 3)$ - $\vec{v}_3 = \vec{CA} = A - C = (1 - 2, 2 - 2, 3 - 2) = (-1, 0, 1)$ 💡 **Tip:** Un vector que va de $P$ a $Q$ se calcula siempre como el extremo menos el origen: $\vec{PQ} = Q - P$.

Para estudiar si tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente independientes, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos. Si el determinante es distinto de cero, son independientes; si es cero, son dependientes. $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por la regla de Sarrus: $$|M| = (0 \cdot 2 \cdot 1) + (-2 \cdot 3 \cdot (-1)) + (-4 \cdot 1 \cdot 0) - [(-4 \cdot 2 \cdot (-1)) + (-2 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 3 \cdot 0)]$$ $$|M| = 0 + 6 + 0 - [8 - 2 + 0]$$ $$|M| = 6 - 6 = 0$$ Como el determinante es **cero**, los vectores son linealmente dependientes. 💡 **Tip:** Geométricamente, esto tiene sentido porque los tres vectores forman los lados de un mismo triángulo, lo que implica que están en el mismo plano (son coplanarios) y su suma es el vector nulo: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0}$. ✅ **Resultado (Independencia lineal):** $$\boxed{\text{Los vectores } \vec{v}_1, \vec{v}_2 \text{ y } \vec{v}_3 \text{ son linealmente dependientes.}}$$

**(b) (1 punto) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $A, B, C$.** El área de un triángulo con vértices $A, B$ y $C$ se puede calcular mediante el módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, dividido por dos: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Ya conocemos $\vec{AB} = (0, -2, -4)$. Calculamos ahora $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = (2-1, 2-2, 2-3) = (1, 0, -1)$$ (Nota: Observa que $\vec{AC} = -\vec{v}_3$).

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante con los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2)\vec{i} + (-4)\vec{j} + (0)\vec{k} - [(-2)\vec{k} + 0\vec{i} + 0\vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 2\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$$ El vector resultante es: $$\vec{w} = (2, -4, 2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial genera un vector que es perpendicular al plano que contiene a los otros dos.

Calculamos el módulo del vector obtenido: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24}$$ Simplificamos la raíz: $$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6} \text{ unidades}^2$$ Valor numérico aproximado: $\text{Área} \approx 2,45 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{6} \text{ u}^2}$$