Ecuación de un plano perpendicular a una recta

**8. Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos $\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + z = -3 \end{cases}$ y además pasa por el punto (3, 2, 1).** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, será el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. Por tanto, nuestro primer objetivo es obtener el vector director de la recta $r$ definida como intersección de dos planos: $$\pi_1: 2x + y - z = 0$$ $$\pi_2: x - y + z = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta viene dada por la intersección de dos planos, su vector director se puede calcular como el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.

Los vectores normales de los planos que definen la recta son $\vec{n}_1 = (2, 1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$. Calculamos su producto vectorial mediante un determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{v}_r = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 - 1) - \vec{j}(2 - (-1)) + \vec{k}(-2 - 1)$$ $$\vec{v}_r = 0\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k} = (0, -3, -3)$$ Para trabajar con valores más sencillos, podemos usar cualquier vector proporcional. Dividimos entre $-3$: $$\vec{n}_\pi = (0, 1, 1)$$ $$\boxed{\vec{n}_\pi = (0, 1, 1)}$$

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}_\pi = (0, 1, 1)$. Sustituimos las componentes: $$0x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(3, 2, 1)$, este debe satisfacer la ecuación: $$2 + 1 + D = 0$$ $$3 + D = 0 \implies D = -3$$ Sustituyendo el valor de $D$ en la ecuación, obtenemos la ecuación final del plano: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y + z - 3 = 0}$$