Sistemas de ecuaciones lineales en contexto farmacéutico

Para resolver el problema, primero definimos las variables que representan las cantidades (en gramos) de cada medicamento a fabricar: - $x$: gramos del medicamento $M_1$. - $y$: gramos del medicamento $M_2$. - $z$: gramos del medicamento $M_3$. Es fundamental trabajar en las mismas unidades. Los datos de la tabla están en miligramos (mg) por cada gramo de medicamento, mientras que las existencias están en gramos (g). Convertimos las existencias a miligramos: - $A_1: 70 \text{ g} = 70000 \text{ mg}$ - $A_2: 90 \text{ g} = 90000 \text{ mg}$ - $A_3: 160 \text{ g} = 160000 \text{ mg}$ 💡 **Tip:** Recuerda que $1 \text{ g} = 1000 \text{ mg}$. Asegúrate siempre de que las unidades sean homogéneas antes de plantear las ecuaciones.

Basándonos en la tabla y en el objetivo de consumir todo el material disponible, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 10x + 10y + 20z = 70000 \\ 10x + 20y + 30z = 90000 \\ 20x + 30y + 50z = 160000 \end{cases}$$ Para facilitar los cálculos, simplificamos dividiendo todas las ecuaciones entre $10$: $$\begin{cases} x + y + 2z = 7000 \\ x + 2y + 3z = 9000 \\ 2x + 3y + 5z = 16000 \end{cases}$$ El sistema en forma matricial $AX = B$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7000 \\ 9000 \\ 16000 \end{pmatrix}$$

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot 5) + (1 \cdot 3 \cdot 2) + (1 \cdot 3 \cdot 2) - (2 \cdot 2 \cdot 2) - (3 \cdot 3 \cdot 1) - (5 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 10 + 6 + 6 - 8 - 9 - 5 = 22 - 22 = 0$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ no es 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ analizando el determinante de la submatriz formada por las dos primeras columnas y la columna de términos independientes: $$|A^*_c| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 7000 \\ 1 & 2 & 9000 \\ 2 & 3 & 16000 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot 16000) + (1 \cdot 9000 \cdot 2) + (7000 \cdot 1 \cdot 3) - (7000 \cdot 2 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 16000) - (3 \cdot 9000 \cdot 1)$$ $$|A^*_c| = 32000 + 18000 + 21000 - 28000 - 16000 - 27000 = 71000 - 71000 = 0$$ Como todos los determinantes de orden 3 son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. 💡 **Tip:** Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, lo que significa que **sí es posible** utilizar las cantidades exactas de principios activos de múltiples formas.

Dado que el rango es 2, podemos prescindir de la tercera ecuación (que es suma de las dos primeras) y resolver en función de un parámetro. Sea $z = \lambda$: $$\begin{cases} x + y = 7000 - 2\lambda \\ x + 2y = 9000 - 3\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x + y) = (9000 - 3\lambda) - (7000 - 2\lambda)$$ $$y = 2000 - \lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (2000 - \lambda) = 7000 - 2\lambda$$ $$x = 5000 - \lambda$$ La solución general es: $$\begin{cases} x = 5000 - \lambda \\ y = 2000 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$

Como $x, y, z$ representan cantidades físicas de medicamentos, deben ser valores no negativos ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$): 1. $5000 - \lambda \ge 0 \implies \lambda \le 5000$ 2. $2000 - \lambda \ge 0 \implies \lambda \le 2000$ 3. $\lambda \ge 0$ Por tanto, el parámetro debe cumplir $0 \le \lambda \le 2000$. **Conclusión:** **Sí, es posible** utilizar la cantidad total exacta. Las cantidades que se pueden fabricar son: $$\boxed{\begin{cases} M_1 = 5000 - \lambda \text{ gramos} \\ M_2 = 2000 - \lambda \text{ gramos} \\ M_3 = \lambda \text{ gramos} \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in [0, 2000]}$$ *(Cualquier valor de $\lambda$ en ese intervalo proporciona una combinación válida de medicamentos que agota exactamente los principios activos).*