Discusión de rango y resolución de sistema con parámetros

**(a) (1,2 puntos) Analiza el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$.** Para analizar el rango de la matriz $A$, calculamos su determinante en función del parámetro $m$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot m \cdot 2m + 1 \cdot m \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 4) - (4 \cdot m \cdot 1 + 4 \cdot m \cdot 1 + 2m \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = (2m^2 + 4m + 4) - (4m + 4m + 2m)$$ $$|A| = 2m^2 + 4m + 4 - 10m = 2m^2 - 6m + 4$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos indica si el rango es máximo (3) o menor que 3. Si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$2m^2 - 6m + 4 = 0 \implies m^2 - 3m + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos los valores **$m = 1$** y **$m = 2$**. **Discusión:** 1. **Si $m \neq 1$ y $m \neq 2$:** El determinante $|A| \neq 0$, por lo tanto, el rango de $A$ es 3. $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$ 2. **Si $m = 1$:** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 2}$$ 3. **Si $m = 2$:** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango es el orden del mayor menor no nulo que se pueda encontrar dentro de la matriz.

**(b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema $A \cdot X = B$ para el valor $m = 2$.** Sustituimos $m = 2$ en el sistema matricial: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}$$ Esto equivale al sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + 2y + 2z = 5 \\ 4x + 4y + 4z = 12 \end{cases}$$ Observamos que la tercera ecuación es proporcional a la primera ($E_3 = 4E_1$), por lo que podemos prescindir de ella. El sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + 2y + 2z = 5 \end{cases}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A|B) = 2$ (ya que la columna de términos independientes en la matriz ampliada mantiene la dependencia de la tercera fila), y el número de incógnitas es 3, el sistema es **Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)**.

Para resolver el sistema, tomamos una variable como parámetro, por ejemplo $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + y = 3 - \lambda \\ x + 2y = 5 - 2\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x + y) = (5 - 2\lambda) - (3 - \lambda)$$ $$y = 2 - \lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + (2 - \lambda) = 3 - \lambda$$ $$x + 2 - \lambda = 3 - \lambda \implies x = 1$$ Las soluciones del sistema vienen dadas por: $$\boxed{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad, siempre debemos expresar la solución en función de un parámetro (normalmente $\lambda$ o $t$).