Ecuación matricial e inversión de matrices

Para estudiar la matriz $B$, primero debemos agrupar los términos que contienen $B$ en un solo lado de la igualdad. Llamemos $M_1$ y $M_2$ a las matrices dadas: $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix}$$ La ecuación original es: $M_1 \cdot B = I_3 - M_2 \cdot B$. Sumamos $M_2 \cdot B$ en ambos lados: $$M_1 \cdot B + M_2 \cdot B = I_3$$ Ahora, hacemos uso de la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices respecto a la suma (sacamos $B$ como factor común por la derecha): $$(M_1 + M_2) \cdot B = I_3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices el orden del producto importa. Como $B$ está a la derecha en ambos términos, se debe extraer factor común por la derecha: $AB + CB = (A+C)B$.

Calculamos la matriz resultante de la suma $M_1 + M_2$ elemento a elemento: $$M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix}$$ $$M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} 1+10 & 2+11 & 3+12 \\ 4+7 & 5+9 & 6+9 \\ -7-4 & -8-5 & -9-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 11 & 14 & 15 \\ -11 & -13 & -16 \end{pmatrix}$$ Llamemos $C$ a esta matriz, de modo que la ecuación queda simplificada como: $$\boxed{C \cdot B = I_3}$$ Donde $C = \begin{pmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 11 & 14 & 15 \\ -11 & -13 & -16 \end{pmatrix}$.

Para que la matriz $B$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. De la ecuación $C \cdot B = I_3$, aplicando la propiedad de los determinantes (el determinante de un producto es el producto de los determinantes), tenemos: $$|C \cdot B| = |I_3| \implies |C| \cdot |B| = 1$$ Para que esta igualdad se cumpla, es necesario que tanto $|C|$ como $|B|$ sean distintos de cero. Vamos a calcular el determinante de $C$ para confirmar que el sistema es consistente y que $B$ es invertible: $$|C| = \begin{vmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 11 & 14 & 15 \\ -11 & -13 & -16 \end{vmatrix}$$ Podemos simplificar haciendo $F_2 \to F_2 - F_1$ y $F_3 \to F_3 + F_1$: $$|C| = \begin{vmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Al ser una matriz triangular (o desarrollando por la segunda fila/primera columna): $$|C| = 11 \cdot 1 \cdot (-1) = -11$$ Como $|C| = -11 \neq 0$, la matriz $C$ es invertible. Como $C \cdot B = I_3$, por la definición de matriz inversa, **la matriz $B$ es invertible** y su inversa es precisamente $C$. 💡 **Tip:** Si $A \cdot B = I$, entonces $A = B^{-1}$ y $B = A^{-1}$.

Puesto que hemos llegado a la expresión $C \cdot B = I_3$, y sabemos que $B$ es una matriz cuadrada que admite una matriz $C$ tal que su producto es la identidad, se deduce que: $$B^{-1} = C$$ Por tanto, la inversa de $B$ es la matriz suma que calculamos anteriormente: $$B^{-1} = M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 11 & 14 & 15 \\ -11 & -13 & -16 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 11 & 13 & 15 \\ 11 & 14 & 15 \\ -11 & -13 & -16 \end{pmatrix}}$$