Optimización de la superficie de un cristal rectangular

**4. En una cristalería, a un cristal rectangular de 120 centímetros de alto y 70 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?** Para resolver este problema de optimización, situamos el cristal en un sistema de ejes coordenados, colocando la esquina inferior izquierda en el origen $(0,0)$. Según las medidas del dibujo, los vértices del cristal tras el corte son: - Esquina inferior izquierda: $(0,0)$ - Esquina inferior derecha: $(70,0)$ - Punto donde termina el corte en el lateral derecho: $(70, 90)$ (ya que el lateral mide $90$ cm). - Punto donde empieza el corte en la parte superior: $(60, 120)$ (ya que el lado superior mide $60$ cm). - Esquina superior izquierda: $(0, 120)$ El corte por error es el segmento que une los puntos $C(70, 90)$ y $D(60, 120)$. 💡 **Tip:** Representar el problema en un eje de coordenadas permite convertir un problema geométrico en uno de funciones algebraicas.

Para hallar el área de cualquier rectángulo inscrito, necesitamos la relación entre la anchura $x$ y la altura $y$ en el tramo del corte (segmento $CD$). Calculamos la pendiente $m$ de la recta que pasa por $(60, 120)$ y $(70, 90)$: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{90 - 120}{70 - 60} = \frac{-30}{10} = -3$$ Usamos la forma punto-pendiente para hallar la ecuación de la recta: $$y - 120 = -3(x - 60) \implies y = -3x + 180 + 120 \implies y = -3x + 300$$ Esta relación es válida para el intervalo $x \in [60, 70]$. Si $x < 60$, la altura máxima es constante e igual a $120$ cm. $$\boxed{y = -3x + 300 \text{ para } 60 \le x \le 70}$$

Queremos maximizar la superficie del nuevo cristal rectangular, cuya área es $S = x \cdot y$. Dependiendo del valor de la anchura $x$, tenemos dos situaciones: 1. Si $0 \le x \le 60$, la altura máxima es $120$, por lo que $S(x) = 120x$. En este intervalo, el máximo es $S(60) = 120 \cdot 60 = 7200 \text{ cm}^2$. 2. Si $60 \le x \le 70$, el vértice superior derecho del rectángulo estará sobre la recta del corte $y = -3x + 300$. Definimos la función área para este segundo tramo: $$S(x) = x \cdot (-3x + 300) = -3x^2 + 300x$$ 💡 **Tip:** El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura. Al sustituir la altura por la función de la recta, obtenemos una función de una sola variable.

Para encontrar el máximo de $S(x) = -3x^2 + 300x$ en el intervalo $[60, 70]$, calculamos su derivada e igualamos a cero: $$S'(x) = -6x + 300$$ $$-6x + 300 = 0 \implies 6x = 300 \implies x = 50$$ El valor crítico $x = 50$ está **fuera** de nuestro intervalo de estudio $[60, 70]$. Esto significa que en el intervalo $[60, 70]$, la función no tiene máximos ni mínimos relativos, por lo que el máximo absoluto debe estar en uno de los extremos del intervalo. Evaluamos la función en los extremos: - Para $x = 60$: $S(60) = -3(60)^2 + 300(60) = -10800 + 18000 = 7200 \text{ cm}^2$. - Para $x = 70$: $S(70) = -3(70)^2 + 300(70) = -14700 + 21000 = 6300 \text{ cm}^2$. Estudiamos el signo de la derivada en el intervalo $(60, 70)$ para confirmar el crecimiento: $$\begin{array}{c|c} x & (60, 70) \\\hline S'(x) & - \end{array}$$ Como la derivada es negativa en todo el intervalo, la función es decreciente y el máximo se encuentra en $x = 60$. 💡 **Tip:** Cuando el extremo relativo de una parábola queda fuera del intervalo, el valor máximo siempre estará en uno de los bordes del dominio definido.

Comparando los resultados obtenidos: - El área máxima es de $7200 \text{ cm}^2$. - Esta área se alcanza cuando la anchura es $x = 60$ cm. - La altura correspondiente para $x=60$ es $y = 120$ cm. Este recorte se puede realizar con un único corte vertical a los $60$ cm de ancho (cumpliendo la condición de realizar como máximo dos cortes). ✅ **Dimensiones del nuevo cristal:** $$\boxed{60 \text{ cm de ancho y } 120 \text{ cm de alto}}$$