Área encerrada por una recta y una función a trozos

Para calcular el área encerrada, primero debemos encontrar los valores de $x$ donde las funciones $f(x)$ y $g(x)$ se intersecan. Como $g(x)$ está definida a trozos, analizamos cada rama por separado: **1. Rama para $x \lt 0$:** Igualamos $f(x)$ con la primera rama de $g(x)$: $$x + 6 = -2x \implies 3x = -6 \implies x = -2.$$ Como $-2 \lt 0$, este es un punto de corte válido. **2. Rama para $x \ge 0$:** Igualamos $f(x)$ con la segunda rama de $g(x)$: $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $x_1 = 3$ y $x_2 = -2$. Dado que estamos en la rama $x \ge 0$, solo tomamos **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Al trabajar con funciones a trozos, verifica siempre que los puntos de corte obtenidos pertenezcan al dominio de la rama que estás analizando. Los puntos de corte son **$x = -2$** y **$x = 3$**.

El área se encuentra entre $x = -2$ y $x = 3$. Debido a que la función $g(x)$ cambia su definición en $x = 0$, debemos dividir la región en dos recintos de integración: 1. Recinto 1: de $x = -2$ a $x = 0$. 2. Recinto 2: de $x = 0$ a $x = 3$. En ambos intervalos, la función $f(x) = x+6$ queda por encima de $g(x)$ (puedes comprobarlo evaluando un punto intermedio, por ejemplo $f(1)=7$ y $g(1)=1$). El área total será: $$A = \int_{-2}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx$$ Sustituyendo las ramas correspondientes: $$A = \int_{-2}^{0} (x + 6 - (-2x)) \, dx + \int_{0}^{3} (x + 6 - x^2) \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{0} (3x + 6) \, dx + \int_{0}^{3} (-x^2 + x + 6) \, dx$$

Calculamos la integral definida para el intervalo $[-2, 0]$ aplicando la Regla de Barrow: $$I_1 = \int_{-2}^{0} (3x + 6) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} + 6x \right]_{-2}^{0}$$ Evaluamos en los límites: $$I_1 = \left( \frac{3(0)^2}{2} + 6(0) \right) - \left( \frac{3(-2)^2}{2} + 6(-2) \right)$$ $$I_1 = 0 - \left( \frac{3(4)}{2} - 12 \right) = 0 - (6 - 12) = 0 - (-6) = 6 \text{ u}^2.$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b h(x) dx = H(b) - H(a)$, donde $H(x)$ es una primitiva de $h(x)$.

Calculamos la integral definida para el intervalo $[0, 3]$: $$I_2 = \int_{0}^{3} (-x^2 + x + 6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{0}^{3}$$ Evaluamos en los límites: $$I_2 = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 6(0) \right)$$ $$I_2 = \left( -9 + 4.5 + 18 \right) - 0 = 13.5 \text{ u}^2.$$ Expresado en fracción: $$I_2 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + \frac{9}{2} = \frac{18+9}{2} = \frac{27}{2} \text{ u}^2.$$

Sumamos las áreas de ambos recintos para obtener el área total encerrada: $$A = I_1 + I_2 = 6 + 13.5 = 19.5 \text{ u}^2.$$ En formato de fracción: $$A = 6 + \frac{27}{2} = \frac{12 + 27}{2} = \frac{39}{2} \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 19.5 \text{ u}^2}$$