Estudio de la existencia y cálculo de un límite por sustitución

**2. Estudia la existencia del siguiente límite y calcúlalo en caso de existir:** $$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) \cdot (3x^5 + 5x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 3) + 2}{3 - (x^2 - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(2x^2) + (\cos(x))^2 + \log(x + 5)}}$$ Para calcular el límite de una función en un punto, el primer paso fundamental es evaluar la expresión mediante la **sustitución directa** del valor al que tiende $x$ (en este caso, $x=2$) para comprobar si la función está definida o si se presenta alguna indeterminación (como $0/0$ o $\infty/\infty$). Sustituimos $x = 2$ en el numerador: $$N(2) = (2 - 2) \cdot (3\cdot 2^5 + 5\cdot 2^4 - 7\cdot 2^3 + 2\cdot 2^2 - 2 + 3) + 2$$ $$N(2) = 0 \cdot (3 \cdot 32 + 5 \cdot 16 - 7 \cdot 8 + 2 \cdot 4 - 2 + 3) + 2$$ $$N(2) = 0 + 2 = 2$$ Sustituimos $x = 2$ en el denominador: $$D(2) = 3 - (2^2 - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(2 \cdot 2^2) + (\cos(2))^2 + \log(2 + 5)}$$ $$D(2) = 3 - (4 - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(8) + \cos^2(2) + \log(7)}$$ $$D(2) = 3 - 0 \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(8) + \cos^2(2) + \log(7)}$$ $$D(2) = 3 - 0 = 3$$ 💡 **Tip:** Antes de aplicar reglas complejas como L'Hôpital, siempre evalúa la función. A menudo, expresiones que parecen muy complicadas se resuelven simplemente por sustitución directa si no hay indeterminación.

Para que el límite exista en el punto $x = 2$, la función debe ser continua en dicho punto o, al menos, estar definida en un entorno del mismo sin que el denominador se anule. En nuestro caso: 1. El numerador tiende a **$2$**. 2. El denominador tiende a **$3$**. 3. La expresión dentro de la raíz cuadrada, $\operatorname{sen}(8) + \cos^2(2) + \log(7)$, es positiva, por lo que la raíz está bien definida. Como el denominador no es cero ($3 \neq 0$), el límite existe y su valor es el cociente de los resultados obtenidos: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{2}{3}}$$