Continuidad y recta tangente con parámetros en funciones trigonométricas

**(a) (1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$ y $b$.** Primero analizamos la continuidad en las ramas de la función por separado: - Para $x < 0$, la función es $f(x) = a - \cos(x)$. Al ser la resta de una constante y una función trigonométrica (coseno), es continua en todo su dominio. - Para $x > 0$, la función es $f(x) = x^2 - b \operatorname{sen} \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$. Es continua por ser suma/composición de un polinomio y una función trigonométrica. Por tanto, el único punto donde la continuidad podría fallar es en el salto entre ramas, en **$x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto si existen los límites laterales, el valor de la función en dicho punto y todos coinciden.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, se debe cumplir: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos cada valor: 1. **Valor de la función y límite por la izquierda:** $$f(0) = \lim_{x \to 0^-} (a - \cos(x)) = a - \cos(0) = a - 1$$ 2. **Límite por la derecha:** $$\lim_{x \to 0^+} \left( x^2 - b \operatorname{sen} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right) = 0^2 - b \operatorname{sen} \left( 0 + \frac{\pi}{2} \right) = - b \operatorname{sen} \left( \frac{\pi}{2} \right) = -b \cdot 1 = -b$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$a - 1 = -b \implies a + b = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a + b = 1, f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}. \text{ Si } a + b \neq 1, f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}.}$$

**(b) (1 punto) Para $a = 1$, calcula el valor de $b$ para que, en el punto con $x = \frac{\pi}{2}$, la función tenga la recta tangente $y = \frac{\pi}{2} x$.** El punto $x = \frac{\pi}{2}$ pertenece a la segunda rama de la función ($x > 0$): $$f(x) = x^2 - b \operatorname{sen} \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$$ Para facilitar el cálculo, recordamos la identidad trigonométrica $\operatorname{sen}(x + \pi/2) = \cos(x)$. Así, la función en esta rama es: $$f(x) = x^2 - b \cos(x)$$ 💡 **Tip:** Usar identidades trigonométricas simplifica notablemente la derivación. Recuerda que la derivada del coseno es el seno negativo: $(\cos x)' = -\operatorname{sen} x$.

La recta tangente dada es $y = \frac{\pi}{2} x$. De aquí extraemos dos informaciones clave: 1. La pendiente de la tangente es $m = \frac{\pi}{2}$. 2. Por definición, la pendiente en $x = \frac{\pi}{2}$ es $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$. Calculamos la derivada de la rama correspondiente: $$f'(x) = (x^2 - b \cos(x))' = 2x + b \operatorname{sen}(x)$$ Igualamos la derivada en $x = \frac{\pi}{2}$ a la pendiente de la recta: $$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \left( \frac{\pi}{2} \right) + b \operatorname{sen}\left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi + b \cdot 1 = \pi + b$$ Planteamos la ecuación: $$\pi + b = \frac{\pi}{2} \implies b = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$$ $$\boxed{b = -\frac{\pi}{2}}$$

Debemos comprobar que el punto de la función coincide con el punto de la recta en $x = \frac{\pi}{2}$ para asegurar que la recta es realmente tangente en ese punto. **En la recta:** Si $x = \frac{\pi}{2}$, entonces $y = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$. **En la función:** Usando $b = -\frac{\pi}{2}$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2} \cdot 0 = \frac{\pi^2}{4}$$ Como ambos valores coinciden, el valor de $b$ es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b = -\frac{\pi}{2}}$$