Probabilidad de turistas y visitas a Aragón

**(a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón.** En primer lugar, definimos los sucesos según el medio de transporte utilizado por el turista: - $V$: El turista llega en avión. - $T$: El turista llega en tren. - $B$: El turista llega en autobús. - $M$: El turista llega en barco (mar). - $A$: El turista visita Aragón. - $\bar{A}$: El turista no visita Aragón. Los datos del enunciado nos dan las siguientes probabilidades: - $P(V) = 0.55$; $P(T) = 0.30$; $P(B) = 0.10$; $P(M) = 0.05$. - $P(A|V) = 0.50$; $P(A|T) = 0.60$; $P(A|B) = 1.00$; $P(A|M) = 0.20$. Podemos representar esta situación mediante un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad de que un turista haya visitado Aragón, $P(A)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(V) \cdot P(A|V) + P(T) \cdot P(A|T) + P(B) \cdot P(A|B) + P(M) \cdot P(A|M)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(A) = (0.55 \cdot 0.50) + (0.30 \cdot 0.60) + (0.10 \cdot 1.00) + (0.05 \cdot 0.20)$$ $$P(A) = 0.275 + 0.18 + 0.10 + 0.01$$ $$P(A) = 0.565$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (visitar Aragón) depende de una partición previa del espacio muestral (el medio de transporte). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.565}$$

**(b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren.** Se nos pide la probabilidad condicionada de que el transporte fuera autobús ($B$) o tren ($T$), dado que sabemos que visitó Aragón ($A$): $$P(B \cup T | A)$$ Por la definición de probabilidad condicionada y sabiendo que los sucesos $B$ y $T$ son incompatibles (un turista no llega en dos transportes a la vez en este modelo): $$P(B \cup T | A) = \frac{P((B \cup T) \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B \cap A) + P(T \cap A)}{P(A)}$$ Calculamos las intersecciones utilizando la regla del producto: - $P(B \cap A) = P(B) \cdot P(A|B) = 0.10 \cdot 1.00 = 0.10$ - $P(T \cap A) = P(T) \cdot P(A|T) = 0.30 \cdot 0.60 = 0.18$ Sustituimos en la fórmula (utilizando el resultado del apartado anterior $P(A) = 0.565$): $$P(B \cup T | A) = \frac{0.10 + 0.18}{0.565} = \frac{0.28}{0.565}$$ Realizando la división: $$P(B \cup T | A) \approx 0.4956$$ 💡 **Tip:** Cuando nos piden la probabilidad de una causa dado un efecto, usamos el **Teorema de Bayes**. Aquí, como nos piden la unión de dos causas, sumamos sus probabilidades conjuntas en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cup T | A) = \frac{280}{565} \approx 0.4956}$$