Probabilidad y porcentajes de aprobados

Para resolver este tipo de ejercicios, lo más didáctico es organizar la información proporcionada en una **tabla de contingencia** que relacione el sexo de los estudiantes con el hecho de haber aprobado o no. Disponemos de los siguientes datos: - Total de alumnos matriculados: $99$ - Total de alumnas: $54$ - Total de alumnos: $45$ - Total de personas que aprueban: $49$ - Alumnas que aprueban: $28$ - Alumnos que aprueban: $21$ Completamos la tabla calculando los valores restantes (los que no aprueban) por diferencia: $$\begin{array}{l|c|c|c} & \text{Aprobar (A)} & \text{No Aprobar (\bar{A})} & \text{Total} \\ \hline \text{Mujeres (M)} & 28 & 54 - 28 = 26 & 54 \\ \hline \text{Hombres (H)} & 21 & 45 - 21 = 24 & 45 \\ \hline \text{Total} & 49 & 50 & 99 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Comprobar siempre que las sumas de las filas y las columnas coinciden con los totales. En este caso: $28+21=49$ y $54+45=99$.

**(a) (1,2 puntos) ¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos?** El porcentaje de aprobados dentro de un grupo se calcula dividiendo el número de personas que han aprobado entre el total de personas de ese grupo específico, y multiplicando por $100$. Para las **alumnas**: Calculamos la proporción de mujeres que aprueban respecto al total de mujeres: $$\% \text{Alumnas} = \frac{\text{Alumnas que aprueban}}{\text{Total de alumnas}} \cdot 100 = \frac{28}{54} \cdot 100$$ $$\% \text{Alumnas} \approx 0,5185 \cdot 100 = 51,85\%$$ Para los **alumnos**: Calculamos la proporción de hombres que aprueban respecto al total de hombres: $$\% \text{Alumnos} = \frac{\text{Alumnos que aprueban}}{\text{Total de alumnos}} \cdot 100 = \frac{21}{45} \cdot 100$$ $$\% \text{Alumnos} = 0,4667 \cdot 100 = 46,67\%$$ ✅ **Resultado (porcentajes):** $$\boxed{\text{Alumnas: } 51,85\% \quad \text{Alumnos: } 46,67\%}$$

**(b) (0,8 puntos) Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?** En este apartado se nos pide una **probabilidad condicionada**. Sabemos de antemano que la persona elegida ha aprobado ($A$), y queremos saber la probabilidad de que sea mujer ($M$). Esto se denota como $P(M|A)$. Aplicando la **Regla de Laplace** sobre el subconjunto de personas que han aprobado: - Casos favorables: Número de alumnas que han aprobado ($28$). - Casos posibles: Número total de personas que han aprobado ($49$). $$P(M|A) = \frac{\text{Alumnas que aprueban}}{\text{Total de aprobados}} = \frac{28}{49}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $7$: $$P(M|A) = \frac{4}{7} \approx 0,5714$$ 💡 **Tip:** Es crucial distinguir entre $P(A|M)$ (probabilidad de aprobar si eres mujer, calculada en el paso anterior) y $P(M|A)$ (probabilidad de ser mujer sabiendo que has aprobado). En el primer caso el total de referencia es 54, en el segundo es 49. ✅ **Resultado (probabilidad):** $$\boxed{P(M|A) = \frac{4}{7} \approx 0,5714}$$