Volumen de un tetraedro y puntos coplanarios

**(a) (1,2 puntos) Calcula los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que el tetraedro con vértices $P_1, P_2, P_3$ y $P_4$ tenga volumen $1/3$.** Para calcular el volumen de un tetraedro, fijamos uno de los puntos (por ejemplo $P_1$) y construimos los tres vectores que parten de él hacia los otros tres vértices: $$\vec{u} = \vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0 - (-2), a - 1, -2 - 1) = (2, a-1, -3)$$ $$\vec{v} = \vec{P_1P_3} = P_3 - P_1 = (-1 - (-2), 1 - 1, -1 - 1) = (1, 0, -2)$$ $$\vec{w} = \vec{P_1P_4} = P_4 - P_1 = (1 - (-2), 3 - 1, -3 - 1) = (3, 2, -4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el volumen de un tetraedro viene dado por la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres vectores que compartan un vértice común: $V = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.

Calculamos el producto mixto de los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ mediante el determinante de la matriz formada por sus componentes: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & a-1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= [2 \cdot 0 \cdot (-4) + (a-1) \cdot (-2) \cdot 3 + (-3) \cdot 1 \cdot 2] - [3 \cdot 0 \cdot (-3) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + (-4) \cdot 1 \cdot (a-1)]$$ $$= [0 - 6(a-1) - 6] - [0 - 8 - 4(a-1)]$$ $$= [-6a + 6 - 6] - [-8 - 4a + 4]$$ $$= -6a - (-4a - 4) = -6a + 4a + 4 = -2a + 4$$ 💡 **Tip:** El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo definido por los vectores. El tetraedro ocupa exactamente la sexta parte de ese volumen.

Igualamos la fórmula del volumen al valor dado, $V = 1/3$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = \frac{1}{6} |-2a + 4| = \frac{1}{3}$$ Multiplicamos por 6 en ambos lados para simplificar: $$|-2a + 4| = 2$$ Esta ecuación con valor absoluto tiene dos posibles soluciones: 1. $-2a + 4 = 2 \implies -2a = -2 \implies a = 1$ 2. $-2a + 4 = -2 \implies -2a = -6 \implies a = 3$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad a = 3}$$

**(b) (0,8 puntos) Calcula el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que los cuatro puntos sean coplanarios.** Cuatro puntos son coplanarios si el tetraedro que forman tiene volumen nulo. Esto ocurre cuando el producto mixto de los vectores que los unen es igual a cero, ya que los tres vectores estarían en el mismo plano y serían linealmente dependientes. Utilizando el resultado del producto mixto obtenido anteriormente: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -2a + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$-2a = -4 \implies a = \frac{-4}{-2} = 2$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, el rango de la matriz de vectores es menor que 3, lo que implica que los puntos no generan un volumen en el espacio 3D. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{a = 2}$$