Álgebra 2024 Aragon
Cálculo de precios con diferentes tipos de IVA
7. Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A, es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4 %; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10 % y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21 %.
El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de 483 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 1954 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación.
Calcula los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
En primer lugar, definimos las variables que representarán el precio unitario **sin IVA** de cada artículo:
- $x$: precio sin IVA del artículo A (primera necesidad).
- $y$: precio sin IVA del artículo B (alimentación).
- $z$: precio sin IVA del artículo C (electrodoméstico).
Traducimos el enunciado a ecuaciones algebraicas:
1. **Compra total sin IVA:** 1 artículo A, 2 de B y 5 de C cuestan 483 €.
$$x + 2y + 5z = 483$$
2. **Total de IVA pagado:** El IVA acumulado de 100 de A (4 %), 10 de B (10 %) y 100 de C (21 %) es 1954 €.
$$100(0.04x) + 10(0.10y) + 100(0.21z) = 1954 \implies 4x + y + 21z = 1954$$
3. **Relación de precios:** El precio de C es igual a cuatro veces el de A más ocho veces el de B.
$$z = 4x + 8y \implies 4x + 8y - z = 0$$
💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el IVA de un producto multiplicamos su precio base por el tipo impositivo en decimal (por ejemplo, $4\% = 0.04$).
Paso 2
Resolución del sistema de ecuaciones
Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
$$\begin{cases} x + 2y + 5z = 483 \quad (1) \\ 4x + y + 21z = 1954 \quad (2) \\ z = 4x + 8y \quad (3) \end{cases}$$
Utilizaremos el método de **sustitución**, ya que la variable $z$ está despejada en la ecuación (3). Sustituimos $z$ en las ecuaciones (1) y (2):
- En (1):
$$x + 2y + 5(4x + 8y) = 483 \implies x + 2y + 20x + 40y = 483 \implies 21x + 42y = 483$$
Dividiendo toda la ecuación entre 21 para simplificar:
$$x + 2y = 23 \implies x = 23 - 2y \quad (4)$$
- En (2):
$$4x + y + 21(4x + 8y) = 1954 \implies 4x + y + 84x + 168y = 1954 \implies 88x + 169y = 1954$$
Sustituimos $x = 23 - 2y$ en la ecuación resultante:
$$88(23 - 2y) + 169y = 1954$$
$$2024 - 176y + 169y = 1954$$
$$-7y = 1954 - 2024 \implies -7y = -70 \implies y = 10$$
Calculamos ahora $x$ e $z$:
$$x = 23 - 2(10) = 23 - 20 = 3$$
$$z = 4(3) + 8(10) = 12 + 80 = 92$$
Los precios **sin IVA** son:
$$\boxed{x = 3 \text{ €}, \quad y = 10 \text{ €}, \quad z = 92 \text{ €}}$$
Paso 3
Cálculo de los precios a la venta (con IVA)
El enunciado pide los precios de venta al público, es decir, incluyendo el IVA correspondiente a cada artículo.
- **Artículo A (IVA 4 %):**
$$\text{Precio}_A = 3 \cdot 1.04 = 3.12 \text{ €}$$
- **Artículo B (IVA 10 %):**
$$\text{Precio}_B = 10 \cdot 1.10 = 11.00 \text{ €}$$
- **Artículo C (IVA 21 %):**
$$\text{Precio}_C = 92 \cdot 1.21 = 111.32 \text{ €}$$
💡 **Tip:** El precio con IVA se obtiene multiplicando el precio base por $(1 + i)$, donde $i$ es el tipo impositivo.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{A: } 3.12 \text{ €, B: } 11.00 \text{ €, C: } 111.32 \text{ €}}$$