Estudio del rango de una matriz con parámetro y resolución de sistema homogéneo

**(a) (1,2 puntos) Estudia el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, empezamos calculando su determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m - 6 \\ 2 & -3 & m + 6 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot 6 \cdot (m+6) + (-3) \cdot (m-6) \cdot 2 + 4 \cdot (-4) \cdot (-3)] - [4 \cdot 6 \cdot 2 + (-3) \cdot (-4) \cdot (m+6) + 2 \cdot (m-6) \cdot (-3)]$$ Calculamos cada término: - Términos positivos: $12(m+6) - 6(m-6) + 48 = 12m + 72 - 6m + 36 + 48 = 6m + 156$ - Términos negativos: $48 + 12(m+6) - 6(m-6) = 48 + 12m + 72 - 6m + 36 = 6m + 156$ Restamos: $$|A| = (6m + 156) - (6m + 156) = 0$$ Como el determinante es **$|A| = 0$** para cualquier valor de $m$, sabemos que el rango de la matriz no puede ser 3. Por lo tanto, $\text{rg}(A) \lt 3$ siempre. 💡 **Tip:** Si observas las columnas de la matriz, verás que $C_2 = -1.5 \cdot C_1$. Según las propiedades de los determinantes, si una columna es proporcional a otra, el determinante es cero.

Como el rango es menor que 3, buscamos si existe algún menor de orden 2 distinto de cero. Probamos con el menor formado por las columnas 1 y 3 y las filas 1 y 2: $$M = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -4 & m - 6 \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor: $$|M| = 2(m-6) - 4(-4) = 2m - 12 + 16 = 2m + 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$2m + 4 = 0 \implies 2m = -4 \implies m = -2$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se pueda encontrar en ella.

Analizamos los casos posibles basándonos en el valor del menor de orden 2 calculado anteriormente: **Caso 1: $m \neq -2$** Si $m \neq -2$, entonces el menor $|M| \neq 0$. Por lo tanto, existe al menos un menor de orden 2 no nulo. Como ya sabemos que $|A| = 0$, el rango es exactamente 2. **Caso 2: $m = -2$** Si $m = -2$, sustituimos en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & -8 \\ 2 & -3 & 4 \end{pmatrix}$$ Observamos que: - La fila 2 es proporcional a la fila 1: $F_2 = -2 \cdot F_1$ - La fila 3 es igual a la fila 1: $F_3 = F_1$ Al haber solo una fila linealmente independiente, el rango de la matriz es 1. ✅ **Resultado (estudio del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq -2, & \text{rg}(A) = 2 \\ \text{Si } m = -2, & \text{rg}(A) = 1 \end{cases}}$$

**(b) (0,8 puntos) Resuelve, si es posible, el sistema homogéneo $A \cdot X = 0$ cuando $m = 6$.** Para $m = 6$, sustituimos el valor en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & 0 \\ 2 & -3 & 12 \end{pmatrix}$$ Como $m = 6 \neq -2$, sabemos por el apartado anterior que $\text{rg}(A) = 2$. Al ser un sistema homogéneo ($A \cdot X = 0$) y tener $\text{rg}(A) \lt n$ (donde $n=3$ es el número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (tiene infinitas soluciones). Planteamos las ecuaciones correspondientes utilizando solo dos filas linealmente independientes (por ejemplo, $F_1$ y $F_2$): $$1) \quad 2x - 3y + 4z = 0$$ $$2) \quad -4x + 6y = 0$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible. Si el determinante de la matriz es cero, entonces tiene infinitas soluciones además de la trivial $(0,0,0)$.

Resolvemos el sistema en función de un parámetro: De la segunda ecuación: $$-4x + 6y = 0 \implies 6y = 4x \implies y = \frac{4}{6}x = \frac{2}{3}x$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$2x - 3\left(\frac{2}{3}x\right) + 4z = 0$$ $$2x - 2x + 4z = 0 \implies 4z = 0 \implies z = 0$$ Para dar la solución general, tomamos $x$ como parámetro. Sea $x = 3\lambda$ (para evitar fracciones): - $x = 3\lambda$ - $y = \frac{2}{3}(3\lambda) = 2\lambda$ - $z = 0$ ✅ **Resultado (solución del sistema):** $$\boxed{(x, y, z) = (3\lambda, 2\lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$