Operaciones con matrices, potencias y ecuaciones matriciales

**(a) (0,8 puntos) Calcula $C^{2n}$, con $n \in \mathbb{N}$.** En primer lugar, calculamos la matriz $C$ realizando las operaciones indicadas. Necesitamos la traspuesta de $A$, $A^T$, y luego multiplicarla por $B$. Si $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, entonces su traspuesta es $A^T = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Calculamos el producto $A^T \cdot B$: $$A^T \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(1)+2(0)+0(-1) & (-2)(0)+2(1)+0(0) \\ 1(1)+0(0)+(-1)(-1) & 1(0)+0(1)+(-1)(0) \end{pmatrix}$$ $$A^T \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1+1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, sumamos la matriz identidad $I_2$: $$C = A^T \cdot B + I_2 = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para trasponer una matriz se cambian filas por columnas, y para multiplicar matrices se hace el producto escalar de las filas de la primera por las columnas de la segunda.

Para hallar la expresión de $C^{2n}$, calculamos las primeras potencias pares para observar si existe un patrón. Calculamos $C^2$: $$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+2(2) & (-1)(2)+2(1) \\ 2(-1)+1(2) & 2(2)+1(1) \end{pmatrix}$$ $$C^2 = \begin{pmatrix} 1+4 & -2+2 \\ -2+2 & 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot I_2$$ Ahora calculamos $C^4$ para confirmar el patrón: $$C^4 = (C^2)^2 = (5 I_2)^2 = 5^2 I_2^2 = 25 I_2$$ 💡 **Tip:** El producto de una matriz por la identidad es la propia matriz ($M \cdot I = M$), y elevar la identidad a cualquier potencia siempre resulta en la identidad ($I^n = I$).

A partir de $C^2 = 5 I_2$, podemos generalizar para cualquier potencia de la forma $2n$: $$C^{2n} = (C^2)^n = (5 I_2)^n = 5^n \cdot I_2^n = 5^n I_2$$ Por tanto, la matriz resultante es: $$C^{2n} = \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{C^{2n} = 5^n I_2 = \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix}}$$

**(b) (1,2 puntos) Resuelve la ecuación $C \cdot X = 5(A^T \cdot B)$.** Tenemos la ecuación matricial $C \cdot X = 5(A^T \cdot B)$. Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $C$, siempre que esta exista. Comprobamos si $C$ es invertible calculando su determinante: $$|C| = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz $C$ es **regular (invertible)**. Despejamos $X$: $$C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot 5(A^T \cdot B) \implies X = 5 \cdot C^{-1} \cdot (A^T \cdot B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores importa. Si multiplicas por la inversa por la izquierda en un miembro, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Calculamos $C^{-1}$ usando la fórmula $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{adj}(C)^T$. 1. Matriz de adjuntos $\text{adj}(C)$: - $\text{adj}(c_{11}) = (-1)^{1+1}(1) = 1$ - $\text{adj}(c_{12}) = (-1)^{1+2}(2) = -2$ - $\text{adj}(c_{21}) = (-1)^{2+1}(2) = -2$ - $\text{adj}(c_{22}) = (-1)^{2+2}(-1) = -1$ $$\text{adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|C| = -5$): $$C^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/5 & 2/5 \\ 2/5 & 1/5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2\times 2$, la inversa se halla rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Sustituimos en la expresión despejada $X = 5 \cdot C^{-1} \cdot (A^T \cdot B)$: Sabemos del apartado anterior que $5 \cdot C^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Curiosamente, en este caso $5 C^{-1} = C$ (esto ocurre porque $C^2 = 5I$, por lo que $C = 5C^{-1}$). Usamos la matriz $A^T \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ calculada en el apartado (a): $$X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-1)(-2)+2(2) & (-1)(2)+2(0) \\ 2(-2)+1(2) & 2(2)+1(0) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2+4 & -2+0 \\ -4+2 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}}$$