Optimización: Rectángulo de área máxima

**Demuestra que, entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado.** Sea un rectángulo cualquiera cuyos lados miden $x$ e $y$ (en centímetros). El problema nos indica que el perímetro $P$ es constante. La fórmula del perímetro de un rectángulo es: $$P = 2x + 2y$$ De esta igualdad, podemos despejar una de las variables (por ejemplo, la $y$) en función de $x$ y de la constante $P$: $$2y = P - 2x \implies y = \frac{P}{2} - x$$ Como las longitudes deben ser positivas, tenemos las restricciones: 1. $x \gt 0$ 2. $y \gt 0 \implies \frac{P}{2} - x \gt 0 \implies x \lt \frac{P}{2}$ Por tanto, el dominio de nuestra función será el intervalo $D = \left(0, \dfrac{P}{2}\right)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos identificar la función a maximizar/minimizar y la condición (restricción) que relaciona las variables.

La función que queremos maximizar es el área $A$ del rectángulo, que viene dada por el producto de sus lados: $$A = x \cdot y$$ Sustituimos la expresión de $y$ que obtuvimos en el paso anterior para tener el área como función de una sola variable, $x$: $$A(x) = x \cdot \left( \frac{P}{2} - x \right)$$ $$A(x) = \frac{P}{2}x - x^2$$ Esta es una función cuadrática cuyo dominio es $x \in \left(0, \dfrac{P}{2}\right)$. $$\boxed{A(x) = \frac{P}{2}x - x^2}$$

Para hallar el máximo de la función, calculamos su primera derivada y la igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{P}{2}x - x^2 \right) = \frac{P}{2} - 2x$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{P}{2} - 2x = 0 \implies 2x = \frac{P}{2} \implies x = \frac{P}{4}$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos de una función derivable se encuentran entre los puntos donde su primera derivada es nula.

Para asegurar que en $x = \dfrac{P}{4}$ existe un máximo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = -2$$ Como $A''\left(\dfrac{P}{4}\right) = -2 \lt 0$, el criterio nos confirma que existe un **máximo relativo** en ese punto. Además, al ser una parábola con las ramas hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo), este máximo relativo es el **máximo absoluto** en el intervalo considerado. $$\boxed{x = \frac{P}{4} \text{ es el valor que maximiza el área}}$$

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor correspondiente de $y$ usando la relación del primer paso: $$y = \frac{P}{2} - x = \frac{P}{2} - \frac{P}{4}$$ $$y = \frac{2P - P}{4} = \frac{P}{4}$$ Al comparar ambos lados: $$x = \frac{P}{4}, \quad y = \frac{P}{4} \implies x = y$$ Como los dos lados son iguales, el rectángulo de mayor área con perímetro $P$ es necesariamente un **cuadrado** de lado $\frac{P}{4}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El área máxima se alcanza cuando } x = y = \frac{P}{4}, \text{ es decir, un cuadrado.}}$$