Cálculo de parámetros en primitivas e identidades trigonométricas

**3. (a) (1,2 puntos) Calcula $a, b$ y $c \in \mathbb{R}$ tales que la función $f(x) = a x + b \operatorname{sen}(x) \cos(x) + c$ sea una primitiva de $g(x) = \operatorname{sen}^2(x)$.** Por definición, para que $f(x)$ sea una primitiva de $g(x)$, se debe cumplir que la derivada de $f(x)$ sea igual a $g(x)$: $$f'(x) = g(x)$$ Comenzamos derivando la función $f(x) = ax + b \operatorname{sen}(x) \cos(x) + c$. Para el segundo término, aplicamos la **regla del producto**: $$f'(x) = a + b \cdot [(\operatorname{sen} x)' \cdot \cos x + \operatorname{sen} x \cdot (\cos x)'] + 0$$ $$f'(x) = a + b \cdot [\cos x \cdot \cos x + \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)]$$ $$f'(x) = a + b(\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante $c$ es $0$ y la regla del producto es $(uv)' = u'v + uv'$.

Queremos que $f'(x) = \operatorname{sen}^2 x$. Actualmente tenemos: $$f'(x) = a + b(\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x)$$ Utilizamos la identidad fundamental proporcionada en la nota: $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$. Sustituimos en la expresión de la derivada: $$f'(x) = a + b(1 - \operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen}^2 x)$$ $$f'(x) = a + b(1 - 2 \operatorname{sen}^2 x)$$ $$f'(x) = (a + b) - 2b \operatorname{sen}^2 x$$ Ahora igualamos esta expresión a $g(x) = \operatorname{sen}^2 x$: $$(a + b) - 2b \operatorname{sen}^2 x = 0 + 1 \cdot \operatorname{sen}^2 x$$

Igualamos los coeficientes de ambos lados de la ecuación: 1. **Coeficiente de $\operatorname{sen}^2 x$:** $$-2b = 1 \implies \mathbf{b = -\frac{1}{2}}$$ 2. **Término independiente:** $$a + b = 0 \implies a = -b \implies \mathbf{a = \frac{1}{2}}$$ 3. **Valor de $c$:** Al derivar $f(x)$, la constante $c$ desaparece independientemente de su valor. Por lo tanto, para que $f(x)$ sea una primitiva, $c$ puede tomar cualquier valor real. $$\mathbf{c \in \mathbb{R}}$$ ✅ **Resultado final del apartado (a):** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{2}, \quad c \in \mathbb{R}}$$

**(b) (0,8 puntos) Sabiendo que $\operatorname{sen}(2x) = 2 \operatorname{sen}(x) \cos(x)$, demuestra que $\cos(2x) = \cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)$.** Partimos de la identidad conocida para el seno del ángulo doble: $$\operatorname{sen}(2x) = 2 \operatorname{sen}(x) \cos(x)$$ Si derivamos ambos miembros de la igualdad respecto a $x$: * **Derivada del miembro izquierdo:** Aplicamos la regla de la cadena para $\operatorname{sen}(f(x))$: $$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(2x)] = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos(2x)$$ * **Derivada del miembro derecho:** Aplicamos la regla del producto para $2[\operatorname{sen}(x) \cdot \cos(x)]$: $$\frac{d}{dx}[2 \operatorname{sen} x \cos x] = 2 [\cos x \cdot \cos x + \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)] = 2(\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x)$$ 💡 **Tip:** Derivar identidades conocidas es un método potente para obtener nuevas relaciones trigonométricas.

Igualamos ambos resultados obtenidos tras la derivación: $$2 \cos(2x) = 2(\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x)$$ Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos la identidad solicitada: $$\boxed{\cos(2x) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x}$$ Esta es la fórmula del **coseno del ángulo doble**.