Cálculo de límite con radicales e indeterminación infinito menos infinito

Para calcular el límite, primero evaluamos el comportamiento de los términos cuando $x$ tiende a $+\infty$. Observamos que: - $\lim_{x o +\infty} \sqrt{x^2 + 5} = +\infty$ - $\lim_{x o +\infty} (x + 2) = +\infty$ Al restar ambas expresiones, obtenemos una indeterminación del tipo: $$\infty - \infty$$ 💡 **Tip:** Cuando aparece una resta de raíces (o una raíz menos un polinomio) que da $\infty - \infty$, la estrategia estándar es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión.

Para resolver la indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado: $\sqrt{x^2 + 5} + (x + 2)$. $$\lim_{x o +\infty} \frac{\left[ \sqrt{x^2 + 5} - (x + 2) \right] \left[ \sqrt{x^2 + 5} + (x + 2) \right]}{\sqrt{x^2 + 5} + (x + 2)}$$ En el numerador tenemos un producto notable de tipo suma por diferencia, $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, donde $A = \sqrt{x^2 + 5}$ y $B = (x + 2)$: $$\lim_{x o +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 5})^2 - (x + 2)^2}{\sqrt{x^2 + 5} + x + 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. No olvides el paréntesis al restar para que el signo negativo afecte a todos los términos.

Desarrollamos los cuadrados en el numerador y simplificamos: $$\lim_{x o +\infty} \frac{(x^2 + 5) - (x^2 + 4x + 4)}{\sqrt{x^2 + 5} + x + 2}$$ $$\lim_{x o +\infty} \frac{x^2 + 5 - x^2 - 4x - 4}{\sqrt{x^2 + 5} + x + 2}$$ Los términos en $x^2$ se cancelan: $$\lim_{x o +\infty} \frac{-4x + 1}{\sqrt{x^2 + 5} + x + 2}$$ Ahora la indeterminación ha pasado a ser de tipo $\frac{\infty}{\infty}$, la cual resolvemos comparando los grados del numerador y del denominador.

Para resolver $\frac{\infty}{\infty}$, dividimos todos los términos por la máxima potencia de $x$ presente en el denominador, que es $x$ (ya que $\sqrt{x^2} = x$ para $x > 0$): $$\lim_{x o +\infty} \frac{\frac{-4x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 5}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$$ Introducimos la $x$ dentro de la raíz como $x^2$: $$\lim_{x o +\infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2}} + 1 + \frac{2}{x}} = \lim_{x o +\infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} + 1 + \frac{2}{x}}$$ Cuando $x \to +\infty$, los términos $\frac{1}{x}$, $\frac{5}{x^2}$ y $\frac{2}{x}$ tienden a $0$: $$\frac{-4 + 0}{\sqrt{1 + 0} + 1 + 0} = \frac{-4}{1 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-2}$$