Continuidad con parámetros y recta tangente

**(a) (1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$.** Analizamos primero la continuidad en el dominio donde la función no cambia de definición, es decir, en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Para cualquier $x \neq 0$, la función está definida como: $$f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{x}$$ Esta expresión es un cociente de dos funciones: una exponencial ($e^{2x}-1$) y una polinómica ($x$), ambas continuas en todo $\mathbb{R}$. El único punto donde este cociente podría no ser continuo es donde el denominador se anula ($x=0$). Como estamos considerando el intervalo $x \neq 0$, el denominador nunca es cero en esta rama. Por lo tanto, **$f(x)$ es continua en $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ para cualquier valor de $a$**.

Para que la función sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(0)$. En nuestro caso, $f(0) = a$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$ y sea finito. 3. Que $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \left[ \frac{e^0 - 1}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^{2x} - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2e^0 = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital la función debe presentar una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Comparando el límite con el valor de la función: - Si $a = 2$, la función es continua en $x=0$ (y por tanto en todo $\mathbb{R}$). - Si $a \neq 2$, la función presenta una discontinuidad evitable en $x=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a = 2, & f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \\ \text{Si } a \neq 2, & f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{cases}}$$

**(b) (1 punto) Para el valor de $a = 1$, calcula los puntos de corte de la recta tangente a la curva en $x = 1$, con los ejes $OX$ y $OY$.** Primero, calculamos la ecuación de la recta tangente en $x=1$. La fórmula es: $$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$$ Calculamos el valor de la función en $x=1$: $$f(1) = \frac{e^{2(1)} - 1}{1} = e^2 - 1$$ Ahora calculamos la derivada $f'(x)$ para $x \neq 0$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2e^{2x}) \cdot x - (e^{2x} - 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2xe^{2x} - e^{2x} + 1}{x^2}$$ Evaluamos la pendiente en $x=1$: $$m = f'(1) = \frac{2(1)e^{2(1)} - e^{2(1)} + 1}{1^2} = 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$$ 💡 **Tip:** La derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Sustituimos el punto $(1, e^2-1)$ y la pendiente $m = e^2+1$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - (e^2 - 1) = (e^2 + 1)(x - 1)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = (e^2 + 1)x - (e^2 + 1) + (e^2 - 1)$$ $$y = (e^2 + 1)x - e^2 - 1 + e^2 - 1$$ $$y = (e^2 + 1)x - 2$$ ✅ **Recta tangente:** $$\boxed{y = (e^2 + 1)x - 2}$$

Finalmente, hallamos los puntos de corte de la recta $y = (e^2 + 1)x - 2$ con los ejes coordenados: **Corte con el eje $OY$ (hacemos $x=0$):** $$y = (e^2 + 1)(0) - 2 = -2 \implies P_1(0, -2)$$ **Corte con el eje $OX$ (hacemos $y=0$):** $$0 = (e^2 + 1)x - 2 \implies (e^2 + 1)x = 2 \implies x = \frac{2}{e^2 + 1}$$ $$P_2\left( \frac{2}{e^2 + 1}, 0 \right)$$ Utilizando el valor aproximado $e \approx 2.718$, tenemos $e^2+1 \approx 8.389$, por lo que $x \approx 0.238$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Corte } OY: (0, -2); \quad \text{Corte } OX: \left( \frac{2}{e^2 + 1}, 0 \right)}$$