Triángulo equilátero en el espacio con vértice en el plano $OXZ$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Considera los puntos $A(4,0,0)$ y $B(0,2,0)$. Calcula los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$. Un punto del plano $OXZ$ cumple $y=0$, así que el tercer vértice será: $$C(x,0,z).$$ Para que el triángulo $ABC$ sea equilátero deben cumplirse: $$CA=CB=AB.$$ Trabajaremos con distancias al cuadrado para evitar raíces: $$CA^{2}=CB^{2}=AB^{2}.$$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Calculamos primero: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-4,\,2-0,\,0-0)=(-4,2,0).$$ Entonces: $$AB^{2}=(-4)^{2}+2^{2}+0^{2}=16+4=20.$$ Así que $AB=2\sqrt{5}$, pero usaremos $AB^{2}=20$. Ahora imponemos: 1) $CA^{2}=20$: $$CA^{2}=(x-4)^{2}+(0-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-4)^{2}+z^{2}=20.$$ 2) $CB^{2}=20$: $$CB^{2}=(x-0)^{2}+(0-2)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+4+z^{2}=20.$$ De aquí: $$x^{2}+z^{2}=16.$$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Tenemos el sistema: \[ \begin{cases} (x-4)^{2}+z^{2}=20\\ x^{2}+z^{2}=16 \end{cases} \] Restamos la segunda a la primera para eliminar $z^{2}$: $$(x-4)^{2}-x^{2}=20-16=4.$$ Expandimos: $$x^{2}-8x+16-x^{2}=4$$ $$-8x+16=4$$ $$-8x=-12\quad\Rightarrow\quad x=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$$ Sustituimos en $x^{2}+z^{2}=16$: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+z^{2}=16\quad\Rightarrow\quad \frac{9}{4}+z^{2}=16.$$ Entonces: $$z^{2}=16-\frac{9}{4}=\frac{64-9}{4}=\frac{55}{4}.$$ Por tanto: $$z=\pm \frac{\sqrt{55}}{2}.$$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Los puntos del plano $OXZ$ (con $y=0$) que sirven son: $$C_1\left(\frac{3}{2},\,0,\,\frac{\sqrt{55}}{2}\right),\qquad C_2\left(\frac{3}{2},\,0,\,-\frac{\sqrt{55}}{2}\right).$$ Comprobación rápida: - Por construcción, $CB^{2}=20$ (porque $x^{2}+z^{2}=16$ y $CB^{2}=x^{2}+4+z^{2}=20$). - Y también $CA^{2}=20$ (porque $(x-4)^{2}+z^{2}=20$). - Además $AB^{2}=20$. Así, $CA=CB=AB=2\sqrt{5}$ y el triángulo es equilátero. Respuesta final: **$C_1$ y $C_2$**.