Cálculo de puntos para un triángulo equilátero en el espacio

**Calcula los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$.** En primer lugar, debemos identificar la forma que tienen los puntos situados en el plano $OXZ$. En este plano, la coordenada $y$ es siempre nula. Por tanto, un punto genérico $P$ perteneciente al plano $OXZ$ tendrá la forma: $$P(x, 0, z)$$ Para que los puntos $A$, $B$ y $P$ formen un triángulo equilátero, las distancias entre ellos deben ser iguales: $$d(A, B) = d(A, P) = d(B, P)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el plano $OXZ$ es el plano de ecuación $y=0$. Cualquier punto contenido en él carece de componente en el eje de ordenadas.

Calculamos la distancia entre los puntos conocidos $A(4, 0, 0)$ y $B(0, 2, 0)$ para hallar la longitud del lado del triángulo equilátero. Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: $$d(A, B) = \sqrt{(0 - 4)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 0)^2}$$ $$d(A, B) = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$$ Por tanto, el cuadrado de la distancia es: $$\boxed{d(A, B)^2 = 20}$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular la raíz cuadrada exacta en este paso, ya que trabajaremos con el cuadrado de la distancia al plantear las ecuaciones de las esferas de distancias.

Como $d(A, P) = \sqrt{20}$ y $d(B, P) = \sqrt{20}$, planteamos sus cuadrados para eliminar las raíces: 1. Para $d(A, P)^2 = 20$ con $A(4, 0, 0)$ y $P(x, 0, z)$: $$(x - 4)^2 + (0 - 0)^2 + (z - 0)^2 = 20 \implies (x - 4)^2 + z^2 = 20$$ $$x^2 - 8x + 16 + z^2 = 20$$ 2. Para $d(B, P)^2 = 20$ con $B(0, 2, 0)$ y $P(x, 0, z)$: $$(x - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (z - 0)^2 = 20 \implies x^2 + (-2)^2 + z^2 = 20$$ $$x^2 + 4 + z^2 = 20 \implies x^2 + z^2 = 16$$ Tenemos el sistema: $$\begin{cases} x^2 - 8x + 16 + z^2 = 20 \\ x^2 + z^2 = 16 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La expresión $x^2 + z^2 = 16$ es la ecuación de una circunferencia en el plano $OXZ$ centrada en el origen y de radio 4.

Sustituimos la segunda ecuación ($x^2 + z^2 = 16$) en la primera: $$(x^2 + z^2) - 8x + 16 = 20$$ $$16 - 8x + 16 = 20$$ $$32 - 8x = 20$$ Despejamos $x$: $$-8x = 20 - 32$$ $$-8x = -12$$ $$x = \frac{-12}{-8} = \frac{3}{2}$$ $$\boxed{x = 1.5}$$ Este valor de $x$ nos indica que los puntos buscados se encuentran en una recta vertical dentro del plano $OXZ$.

Ahora sustituimos el valor de $x = 3/2$ en la ecuación $x^2 + z^2 = 16$ para hallar $z$: $$\left(\frac{3}{2}\right)^2 + z^2 = 16$$ $$\frac{9}{4} + z^2 = 16$$ $$z^2 = 16 - \frac{9}{4}$$ $$z^2 = \frac{64 - 9}{4} = \frac{55}{4}$$ Extraemos la raíz cuadrada: $$z = \pm \sqrt{\frac{55}{4}} = \pm \frac{\sqrt{55}}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores para la coordenada $z$, lo que significa que existen dos puntos que cumplen las condiciones del enunciado.

Los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$ son aquellos que tienen coordenadas $(x, 0, z)$ con los valores calculados: $$P_1 = \left( \frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{55}}{2} \right)$$ $$P_2 = \left( \frac{3}{2}, 0, -\frac{\sqrt{55}}{2} \right)$$ En formato decimal aproximado, estos puntos serían $P_1(1.5, 0, 3.71)$ y $P_2(1.5, 0, -3.71)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P_1\left( \frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{55}}{2} \right) \text{ y } P_2\left( \frac{3}{2}, 0, -\frac{\sqrt{55}}{2} \right)}$$