Posición relativa de recta y plano. Recta perpendicular contenida en un plano

**a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $\pi$ y $r$.** Primero, extraemos el vector normal del plano $\pi$ y el vector director y un punto de la recta $r$. Para el plano $\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0$: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$$ Para la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$: $$\vec{v}_r = (2, 1, 0), \quad A_r = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $(A, B, C)$. El vector director de una recta en paramétricas son los coeficientes que acompañan al parámetro $\lambda$.

Para estudiar la posición relativa, calculamos el producto escalar entre el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ y el vector director de la recta $\vec{v}_r$: $$\vec{n}_\pi \cdot \vec{v}_r = (1, -2, 1) \cdot (2, 1, 0) = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es **cero**, los vectores son perpendiculares. Esto implica que la recta $r$ es **paralela al plano $\pi$ o está contenida en él**.

Comprobamos si el punto $A_r(1, 0, 1)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano: $$1 - 2(0) + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$$ Como el punto de la recta cumple la ecuación del plano, la recta completa está dentro de él. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en $\pi$ que pasa por el punto $P(2, -1, -2)$ y es perpendicular a $r$.** Buscamos una recta $s$ que cumpla tres condiciones: 1. Pasa por $P(2, -1, -2)$. 2. Está contenida en $\pi \implies$ su vector director $\vec{v}_s$ es perpendicular al normal del plano $\vec{n}_\pi$. 3. Es perpendicular a $r \implies$ su vector director $\vec{v}_s$ es perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$. Por tanto, el vector director $\vec{v}_s$ debe ser paralelo al producto vectorial de $\vec{n}_\pi$ y $\vec{v}_r$. Antes, verificamos que $P \in \pi$: $$2 - 2(-1) + (-2) - 2 = 2 + 2 - 2 - 2 = 0 \quad \text{(Correcto)}$$

Calculamos $\vec{v}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{v}_r$ mediante el determinante: $$\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{v}_s = ((-2) \cdot 0) \vec{i} + (1 \cdot 2) \vec{j} + (1 \cdot 1) \vec{k} - ((-2) \cdot 2) \vec{k} - (1 \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot 0) \vec{j}$$ $$\vec{v}_s = 0\vec{i} + 2\vec{j} + 1\vec{k} - (-4\vec{k}) - 1\vec{i} - 0\vec{j}$$ $$\vec{v}_s = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}$$ $$\vec{v}_s = (-1, 2, 5)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a ambos simultáneamente.

Con el punto $P(2, -1, -2)$ y el vector director $\vec{v}_s = (-1, 2, 5)$, escribimos la ecuación de la recta $s$ en forma continua: $$s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - (-1)}{2} = \frac{z - (-2)}{5}$$ Simplificando: $$s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{5}$$ También podemos expresarla en forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = 2 - \mu \\ y = -1 + 2\mu \\ z = -2 + 5\mu \end{cases} \mu \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{5}}$$