Posición relativa recta-plano y recta del plano perpendicular a una recta dada

Apartado a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $\pi$ y $r$. Plano: $$\pi:\ x-2y+z-2=0.$$ Recta: $$r:\ \begin{cases} x=1+2\lambda\\ y=\lambda\\ z=1 \end{cases}$$ Para estudiar la posición relativa, sustituimos la parametrización de $r$ en la ecuación de $\pi$: $$x-2y+z-2=(1+2\lambda)-2(\lambda)+1-2.$$ Simplificamos: $$ (1+2\lambda)-2\lambda+1-2 = (1+1-2) + (2\lambda-2\lambda)=0.$$ Obtenemos $0$ para **todo** $\lambda$, es decir, **todos los puntos de $r$ cumplen la ecuación del plano**.

Apartado a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $\pi$ y $r$. Como al sustituir la recta en el plano se obtiene una identidad ($0=0$ para todo $\lambda$), concluimos: - La recta $r$ está **contenida** en el plano $\pi$. Es decir: **$r\subset \pi$**.

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en $\pi$ que pasa por $P(2,-1,-2)$ y es perpendicular a $r$. Datos: - Punto por el que debe pasar: $P(2,-1,-2)$. - Recta $r$ tiene vector director (por su parametrización): $$\vec v_r=(2,1,0).$$ - El plano $\pi$ tiene vector normal: $$\vec n=(1,-2,1).$$ La recta que buscamos, $s$, debe cumplir: 1) Estar en el plano $\pi$ $\Rightarrow$ su vector director $\vec v_s$ es perpendicular a $\vec n$: $$\vec v_s\cdot \vec n=0.$$ 2) Ser perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ $\vec v_s$ es perpendicular a $\vec v_r$: $$\vec v_s\cdot \vec v_r=0.$$ Un modo directo es tomar un vector perpendicular a ambos, usando producto vectorial: $$\vec v_s=\vec n\times \vec v_r.$$ Calculamos: $$\vec n\times \vec v_r= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&-2&1\\ 2&1&0 \end{vmatrix} =\mathbf{i}((-2)\cdot 0-1\cdot 1)-\mathbf{j}(1\cdot 0-1\cdot 2)+\mathbf{k}(1\cdot 1-(-2)\cdot 2).$$ Así: $$\vec v_s=(-1,2,5).$$ Comprobación rápida: $$(-1,2,5)\cdot(2,1,0)=-2+2+0=0,$$ $$(-1,2,5)\cdot(1,-2,1)=-1-4+5=0.$$ Cumple ambas condiciones.

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en $\pi$ que pasa por $P(2,-1,-2)$ y es perpendicular a $r$. Con punto $P(2,-1,-2)$ y vector director $\vec v_s=(-1,2,5)$, la recta buscada es: Forma paramétrica: $$s:\ \begin{cases} x=2-t\\ y=-1+2t\\ z=-2+5t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$$ (Equivalente con otro parámetro o con el vector opuesto). Verificación (opcional): si sustituimos en el plano: $$x-2y+z-2=(2-t)-2(-1+2t)+(-2+5t)-2.$$ Simplificando: $$2-t+2-4t-2+5t-2=0,$$ luego todos sus puntos están en $\pi$. Conclusión: **la recta anterior es la única recta del plano $\pi$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$**.