Sistema de ecuaciones: Venta de perfumes

**a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?** Primero, definimos las variables que representan el precio unitario de cada tipo de perfume: - $x$: precio de un perfume de tipo A (en euros). - $y$: precio de un perfume de tipo B (en euros). - $z$: precio de un perfume de tipo C (en euros). A partir de los datos de los dos primeros pedidos, planteamos las siguientes ecuaciones: 1. Primer pedido: $20x + 30y + 15z = 2200$ 2. Segundo pedido: $15x + 10y + 10z = 1250$ Se nos pide calcular el coste $P$ de un tercer pedido: $$P = 25x + 10y + 16z$$ 💡 **Tip:** Como tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). Para resolver el apartado a), el coste del tercer pedido debe ser necesariamente una combinación lineal de los dos pedidos anteriores.

Buscamos dos números $\alpha$ y $\beta$ tales que: $$\alpha(20x + 30y + 15z) + \beta(15x + 10y + 10z) = 25x + 10y + 16z$$ Esto genera un sistema de ecuaciones igualando los coeficientes de $x$, $y$ y $z$: $$\begin{cases} 20\alpha + 15\beta = 25 \\ 30\alpha + 10\beta = 10 \\ 15\alpha + 10\beta = 16 \end{cases}$$ Resolvemos usando las dos últimas ecuaciones: De $30\alpha + 10\beta = 10 \implies 3\alpha + \beta = 1 \implies \beta = 1 - 3\alpha$. Sustituimos en la tercera: $15\alpha + 10(1 - 3\alpha) = 16$ $$15\alpha + 10 - 30\alpha = 16 \implies -15\alpha = 6 \implies \alpha = -\frac{6}{15} = -0,4$$ Calculamos $\beta$: $$\beta = 1 - 3(-0,4) = 1 + 1,2 = 2,2$$ Comprobamos en la primera ecuación: $20(-0,4) + 15(2,2) = -8 + 33 = 25$. ¡Es correcto! El precio total $P$ será: $$P = \alpha(2200) + \beta(1250) = -0,4(2200) + 2,2(1250) = -880 + 2750 = 1870$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{1870 \text{ euros}}$$

**b) [1,25 puntos] Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es $\frac{2}{5}$ del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?** Se añade la condición: $$z = \frac{2}{5}x$$ Sustituimos $z$ en las dos ecuaciones originales para obtener un sistema de $2 \times 2$: **Ecuación 1:** $$20x + 30y + 15\left(\frac{2}{5}x\right) = 2200 \implies 20x + 30y + 6x = 2200 \implies 26x + 30y = 2200$$ Simplificando (dividiendo entre 2): $13x + 15y = 1100$ **Ecuación 2:** $$15x + 10y + 10\left(\frac{2}{5}x\right) = 1250 \implies 15x + 10y + 4x = 1250 \implies 19x + 10y = 1250$$ 💡 **Tip:** Al sustituir una variable en función de otra, reducimos el grado de libertad del sistema. Ahora tenemos tantas ecuaciones como incógnitas.

Tenemos el sistema: $$\begin{cases} 13x + 15y = 1100 \\ 19x + 10y = 1250 \end{cases}$$ Podemos usar el método de reducción. Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por -3: $$\begin{cases} 26x + 30y = 2200 \\ -57x - 30y = -3750 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$-31x = -1550 \implies x = \frac{-1550}{-31} = 50$$ Calculamos $y$ sustituyendo en la segunda ecuación: $$19(50) + 10y = 1250 \implies 950 + 10y = 1250 \implies 10y = 300 \implies y = 30$$ Calculamos $z$ con la relación del enunciado: $$z = \frac{2}{5}(50) = 20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tipo A: } 50\text{ €}, \text{ Tipo B: } 30\text{ €}, \text{ Tipo C: } 20\text{ €}}$$