Álgebra 2024 Andalucia
Sistema lineal aplicado a precios y combinación de pedidos
Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes $A$, $B$ y $C$. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo $A$, 30 de tipo $B$ y 15 de tipo $C$, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo $A$, 10 de tipo $B$ y 10 de tipo $C$, por un importe de 1250 euros.
a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo $A$, 10 perfumes de tipo $B$ y 16 de tipo $C$?
b) [1,25 puntos] Si añadimos que el precio de un perfume de tipo $C$ es $\dfrac{2}{5}$ del precio de una unidad de tipo $A$, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?
Paso 1
Plantear el sistema de precios
Apartado a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo $A$, 10 de tipo $B$ y 16 de tipo $C$?
Sea:
- $x$ = precio (en euros) de un perfume tipo $A$.
- $y$ = precio (en euros) de un perfume tipo $B$.
- $z$ = precio (en euros) de un perfume tipo $C$.
Del primer pedido:
$$20x+30y+15z=2200.$$
Del segundo pedido:
$$15x+10y+10z=1250.$$
Queremos calcular el importe del pedido:
$$25x+10y+16z.$$
En este apartado (a) NO tenemos una tercera ecuación, así que la idea es obtener $25x+10y+16z$ como combinación lineal de los dos pedidos dados.
Paso 2
Expresar el pedido deseado como combinación de los dos pedidos
Apartado a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 $A$, 10 $B$ y 16 $C$?
Buscamos números $\alpha$ y $\beta$ tales que:
$$\alpha(20,30,15)+\beta(15,10,10)=(25,10,16).$$
Esto da el sistema:
\[
\begin{cases}
20\alpha+15\beta=25\\
30\alpha+10\beta=10\\
15\alpha+10\beta=16
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
$$30\alpha+10\beta=10\quad\Rightarrow\quad 3\alpha+\beta=1\quad\Rightarrow\quad \beta=1-3\alpha.$$
Sustituimos en la primera:
$$20\alpha+15(1-3\alpha)=25$$
$$20\alpha+15-45\alpha=25$$
$$-25\alpha=10\quad\Rightarrow\quad \alpha=-\frac{2}{5}.$$
Entonces:
$$\beta=1-3\left(-\frac{2}{5}\right)=1+\frac{6}{5}=\frac{11}{5}.$$
(Se comprueba que también cumple la tercera ecuación: $15(-2/5)+10(11/5)=-6+22=16$).
Paso 3
Calcular el coste del pedido usando la combinación lineal
Apartado a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 $A$, 10 $B$ y 16 $C$?
Si combinamos los importes con los mismos coeficientes, obtenemos el coste del pedido buscado:
$$25x+10y+16z=\alpha\cdot 2200+\beta\cdot 1250.$$
Sustituimos $\alpha=-\dfrac{2}{5}$ y $\beta=\dfrac{11}{5}$:
$$25x+10y+16z=-\frac{2}{5}\cdot 2200+\frac{11}{5}\cdot 1250.$$
Calculamos:
$$-\frac{2}{5}\cdot 2200=-\frac{4400}{5}=-880,$$
$$\frac{11}{5}\cdot 1250=\frac{13750}{5}=2750.$$
Sumamos:
$$-880+2750=1870.$$
Respuesta del apartado a): **hay que pagar 1870 euros**.
Paso 4
Añadir la relación $z=\tfrac{2}{5}x$ y resolver el sistema
Apartado b) [1,25 puntos] Si $z=\dfrac{2}{5}x$, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?
Ahora tenemos una tercera relación:
$$z=\frac{2}{5}x.$$
Sustituimos en las ecuaciones de los pedidos:
1) $20x+30y+15z=2200$:
$$20x+30y+15\left(\frac{2}{5}x\right)=2200$$
$$20x+30y+6x=2200$$
$$26x+30y=2200.$$
2) $15x+10y+10z=1250$:
$$15x+10y+10\left(\frac{2}{5}x\right)=1250$$
$$15x+10y+4x=1250$$
$$19x+10y=1250.$$
Resolvemos el sistema:
\[
\begin{cases}
26x+30y=2200\\
19x+10y=1250
\end{cases}
\]
Multiplicamos la segunda por $3$:
$$57x+30y=3750.$$
Restamos la primera:
$$(57x+30y)-(26x+30y)=3750-2200$$
$$31x=1550\quad\Rightarrow\quad x=50.$$
Entonces:
$$z=\frac{2}{5}x=\frac{2}{5}\cdot 50=20.$$
Para $y$, usamos $19x+10y=1250$:
$$19\cdot 50+10y=1250\Rightarrow 950+10y=1250\Rightarrow 10y=300\Rightarrow y=30.$$
Respuesta del apartado b):
- **Precio de $A$: $x=50$ €**
- **Precio de $B$: $y=30$ €**
- **Precio de $C$: $z=20$ €**