Álgebra 2024 Andalucia
Ecuaciones matriciales con traspuesta y conmutación
Considera la matriz
$$A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$
a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $X$ que cumplen $XA=-AX^{t}$ y $X^{2}=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2$.
b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $Y$ que cumplen $YA=AY$, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante $-1$.
Paso 1
Plantear $X$ genérica y traducir $XA=-AX^t$ a ecuaciones
Apartado a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $X$ que cumplen $XA=-AX^{t}$ y $X^{2}=I$.
Sea
$$X=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$
Calculamos:
1) Producto $XA$:
$$XA=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-p&q\\ -r&s\end{pmatrix}.$$
2) Traspuesta $X^{t}$:
$$X^{t}=\begin{pmatrix}p&r\\ q&s\end{pmatrix}.$$
3) Producto $AX^{t}$:
$$AX^{t}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&r\\ q&s\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-p&-r\\ q&s\end{pmatrix}.$$
Entonces:
$$-AX^{t}=\begin{pmatrix}p&r\\ -q&-s\end{pmatrix}.$$
Imponemos $XA=-AX^{t}$:
$$\begin{pmatrix}-p&q\\ -r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&r\\ -q&-s\end{pmatrix}.$$
Esto equivale al sistema:
\[
\begin{cases}
-p=p\\
q=r\\
-r=-q\\
s=-s
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
p=0\\
r=q\\
s=0
\end{cases}
\]
(la ecuación $-r=-q$ coincide con $r=q$).
Paso 2
Imponer $X^2=I$ y obtener las soluciones de $X$
Apartado a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $X$ que cumplen $XA=-AX^{t}$ y $X^{2}=I$.
Con lo anterior,
$$X=\begin{pmatrix}0&q\\ q&0\end{pmatrix}.$$
Calculamos $X^{2}$:
$$X^{2}=\begin{pmatrix}0&q\\ q&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&q\\ q&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}q^{2}&0\\ 0&q^{2}\end{pmatrix}=q^{2}I.$$
Imponemos $X^{2}=I$:
$$q^{2}I=I\quad\Rightarrow\quad q^{2}=1\quad\Rightarrow\quad q=\pm 1.$$
Por tanto, las matrices $X$ son:
$$X_1=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix},\qquad
X_2=\begin{pmatrix}0&-1\\ -1&0\end{pmatrix}.$$
Paso 3
Plantear $Y$ genérica y usar la condición de conmutación $YA=AY$
Apartado b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $Y$ que cumplen $YA=AY$, traza $0$ y determinante $-1$.
Sea
$$Y=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}.$$
Calculamos:
1) $YA$:
$$YA=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-a&b\\ -c&d\end{pmatrix}.$$
2) $AY$:
$$AY=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-a&-b\\ c&d\end{pmatrix}.$$
Imponemos $YA=AY$:
$$\begin{pmatrix}-a&b\\ -c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a&-b\\ c&d\end{pmatrix}.$$
Igualando entradas:
\[
\begin{cases}
b=-b\\
-c=c
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
b=0\\
c=0
\end{cases}
\]
Luego $Y$ debe ser diagonal:
$$Y=\begin{pmatrix}a&0\\ 0&d\end{pmatrix}.$$
Paso 4
Imponer traza $0$ y determinante $-1$
Apartado b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $Y$ que cumplen $YA=AY$, traza $0$ y determinante $-1$.
Las condiciones restantes son:
- “La suma de la diagonal principal es cero” $\Rightarrow$ traza $0$:
$$a+d=0\quad\Rightarrow\quad d=-a.$$
- Determinante $-1$:
$$\det(Y)=ad=a(-a)=-a^{2}=-1\quad\Rightarrow\quad a^{2}=1\quad\Rightarrow\quad a=\pm 1.$$
Si $a=1$, entonces $d=-1$:
$$Y_1=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}.$$
Si $a=-1$, entonces $d=1$:
$$Y_2=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}.$$
Conclusión: las matrices $Y$ son **$Y_1$ y $Y_2$**.