Ecuaciones matriciales y propiedades de matrices

**a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $X$ que cumplen $XA = -AX^t$ y $X^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.** Sea $X$ una matriz genérica de orden 2: $$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ Calculamos el primer miembro de la ecuación $XA = -AX^t$: $$XA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & b \\ -c & d \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el segundo miembro. Primero hallamos la transpuesta $X^t$ y luego multiplicamos: $$X^t = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$$ $$AX^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -c \\ b & d \end{pmatrix}$$ $$-AX^t = \begin{pmatrix} a & c \\ -b & -d \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz transpuesta $X^t$ se obtiene intercambiando filas por columnas.

Igualamos ambos resultados $XA = -AX^t$ elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} -a & b \\ -c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c \\ -b & -d \end{pmatrix}$$ Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $-a = a \implies 2a = 0 \implies a = 0$ 2) $b = c$ 3) $-c = -b \implies c = b$ 4) $d = -d \implies 2d = 0 \implies d = 0$ Por lo tanto, la matriz $X$ debe tener la forma: $$X = \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix}$$

Imponemos ahora la condición $X^2 = I$: $$X^2 = \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}$$ Como $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, igualamos: $$b^2 = 1 \implies b = \pm 1$$ Las matrices $X$ resultantes son: $$X_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ y } X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices $Y$ que cumplen $YA = AY$, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante $-1$.** Sea $Y = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$. Calculamos ambos productos de la condición $YA = AY$: $$YA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x & y \\ -z & w \end{pmatrix}$$ $$AY = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x & -y \\ z & w \end{pmatrix}$$ Igualando elemento a elemento: 1) $-x = -x$ (siempre se cumple) 2) $y = -y \implies y = 0$ 3) $-z = z \implies z = 0$ 4) $w = w$ (siempre se cumple) La matriz $Y$ debe ser diagonal: $Y = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & w \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Cuando una matriz conmuta con una matriz diagonal con elementos distintos en la diagonal, la matriz debe ser también diagonal.

Aplicamos las dos condiciones restantes sobre $Y = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & w \end{pmatrix}$: 1. **Suma de elementos de la diagonal (traza) igual a cero:** $$x + w = 0 \implies w = -x$$ 2. **Determinante igual a $-1$:** $$\text{det}(Y) = x \cdot w - 0 \cdot 0 = x \cdot w = -1$$ Sustituyendo $w = -x$ en la ecuación del determinante: $$x \cdot (-x) = -1 \implies -x^2 = -1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ - Si $x = 1$, entonces $w = -1$: $Y_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ - Si $x = -1$, entonces $w = 1$: $Y_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \text{ y } Y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$