Integral definida de $e^x\cos x$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Halla $$\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos(x)\,dx.$$ Para calcular la integral definida, primero hallamos una primitiva de $$I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.$$ Esta integral se resuelve con integración por partes dos veces (aparecerá de nuevo $I$ y podremos despejar).

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calculamos $$I=\int e^{x}\cos(x)\,dx$$ con integración por partes: tomamos $$u=\cos(x)\quad\Rightarrow\quad du=-\sen(x)\,dx,$$ $$dv=e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.$$ Entonces: $$I=uv-\int v\,du=e^{x}\cos(x)-\int e^{x}(-\sen x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sen(x)\,dx.$$ Llamamos $$J=\int e^{x}\sen(x)\,dx.$$ Así, hemos obtenido: $$I=e^{x}\cos(x)+J.$$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Ahora calculamos $$J=\int e^{x}\sen(x)\,dx$$ por partes: tomamos $$u=\sen(x)\quad\Rightarrow\quad du=\cos(x)\,dx,$$ $$dv=e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.$$ Entonces: $$J=uv-\int v\,du=e^{x}\sen(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\sen(x)-I.$$ Sustituimos en $I=e^{x}\cos(x)+J$: $$I=e^{x}\cos(x)+\bigl(e^{x}\sen(x)-I\bigr).$$ Pasamos $I$ al otro lado: $$2I=e^{x}\bigl(\sen(x)+\cos(x)\bigr).$$ Por tanto, una primitiva es: $$I=\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sen(x)+\cos(x)\bigr)+C.$$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Ahora sí, calculamos la integral definida: $$\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos(x)\,dx=\left[\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sen(x)+\cos(x)\bigr)\right]_{0}^{\pi/2}.$$ Evaluamos en $x=\dfrac{\pi}{2}$: $$\frac{e^{\pi/2}}{2}\bigl(\sen(\pi/2)+\cos(\pi/2)\bigr)=\frac{e^{\pi/2}}{2}(1+0)=\frac{e^{\pi/2}}{2}.$$ Evaluamos en $x=0$: $$\frac{e^{0}}{2}\bigl(\sen(0)+\cos(0)\bigr)=\frac{1}{2}(0+1)=\frac{1}{2}.$$ Restamos: $$\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos(x)\,dx=\frac{e^{\pi/2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e^{\pi/2}-1}{2}.$$ Resultado: **$\displaystyle \frac{e^{\pi/2}-1}{2}$**.