Integral definida de una función exponencial por trigonométrica

Para resolver la integral $\int e^x \cos(x) dx$, observamos que es un producto de una función exponencial por una trigonométrica. Utilizaremos el método de **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos las variables siguiendo la regla **ALPES**: - $u = \cos(x) \implies du = -\sin(x) \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ 💡 **Tip:** En este tipo de integrales (exponencial por trigonométrica), la integral suele ser "cíclica", lo que significa que después de aplicar el método dos veces, volveremos a obtener la integral original.

Aplicamos la fórmula con los valores elegidos: $$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) \, dx$$ Simplificando el signo negativo: $$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx$$ Ahora debemos resolver la nueva integral $\int e^x \sin(x) \, dx$ aplicando de nuevo el método de partes.

Para $\int e^x \sin(x) \, dx$, elegimos de nuevo: - $u = \sin(x) \implies du = \cos(x) \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Sustituimos en la expresión anterior: $$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) + \left[ e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx \right]$$ Llamamos $I = \int e^x \cos(x) \, dx$ para visualizar la ecuación: $$I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I$$ 💡 **Tip:** Es fundamental mantener el mismo criterio de elección de $u$ y $dv$ en ambos pasos para evitar volver a la identidad $0=0$.

Agrupamos los términos con $I$ en un lado de la ecuación para despejar la integral: $$I + I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$$ $$2I = e^x (\cos(x) + \sin(x))$$ $$I = \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2}$$ Por tanto, la primitiva de la función es: $$\int e^x \cos(x) \, dx = \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2} + C$$

Para calcular la integral definida entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$, aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$ Calculamos los valores en los límites de integración: 1. Para $x = \frac{\pi}{2}$: $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} (\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}))}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} (0 + 1)}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$$ 2. Para $x = 0$: $$F(0) = \frac{e^0 (\cos(0) + \sin(0))}{2} = \frac{1 \cdot (1 + 0)}{2} = \frac{1}{2}$$ Restamos ambos valores: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}}$$