Intersección y área de un recinto definido por dos gráficas con valor absoluto

Apartado a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. Tenemos: $$f(x)=-x^{2}+7,\qquad g(x)=|x^{2}-1|.$$ Para trabajar con el valor absoluto, expresamos $g$ a trozos según el signo de $x^{2}-1$: - Si $x^{2}-1\ge 0$ (es decir, $|x|\ge 1$), entonces: $$g(x)=x^{2}-1.$$ - Si $x^{2}-1<0$ (es decir, $|x|<1$), entonces: $$g(x)=1-x^{2}.$$

Apartado a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Buscamos las intersecciones resolviendo: $$-x^{2}+7=|x^{2}-1|.$$ **Caso 1: $|x|\ge 1$**, entonces $|x^{2}-1|=x^{2}-1$: $$-x^{2}+7=x^{2}-1\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=8\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.$$ Estos valores cumplen $|x|\ge 1$, así que son válidos. Calculamos la ordenada: $$y=f(\pm 2)=-(\pm2)^{2}+7=-4+7=3.$$ Puntos de corte: **$(-2,3)$** y **$(2,3)$**. **Caso 2: $|x|<1$**, entonces $|x^{2}-1|=1-x^{2}$: $$-x^{2}+7=1-x^{2}\quad\Rightarrow\quad 7=1,$$ lo cual es imposible. No hay soluciones en este caso. Conclusión: las gráficas se cortan solo en **$(-2,3)$** y **$(2,3)$**.

Apartado a) [1 punto] Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. El recinto acotado queda entre $x=-2$ y $x=2$ (porque ahí están las intersecciones). Para saber qué función está arriba, probamos por ejemplo en $x=0$: $$f(0)=7,\qquad g(0)=|0-1|=1.$$ Luego $f(0)>g(0)$, así que en el intervalo central la curva de $f$ está por encima. Además, como $f$ y $g$ dependen de $x^{2}$, ambas son funciones pares (simétricas respecto del eje $Y$), lo que ayuda a dibujar el esbozo: el recinto es simétrico respecto del eje $Y$. Con esto, el área del recinto se calculará como: $$\text{Área}=\int_{-2}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto. Como $g(x)$ es a trozos, dividimos el intervalo $[-2,2]$ en: - $[0,1]$: $g(x)=1-x^{2}$. - $[1,2]$: $g(x)=x^{2}-1$. Usamos simetría (funciones pares): $$\int_{-2}^{2}(f-g)=2\int_{0}^{2}(f-g).$$ Por tanto: $$\text{Área}=2\left[\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-(1-x^{2})\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(f(x)-(x^{2}-1)\bigr)\,dx\right].$$ Sustituimos $f(x)=-x^{2}+7$: - En $[0,1]$: $$f(x)-(1-x^{2})=(-x^{2}+7)-(1-x^{2})=6.$$ - En $[1,2]$: $$f(x)-(x^{2}-1)=(-x^{2}+7)-(x^{2}-1)=8-2x^{2}.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto. Calculamos cada parte: 1) En $[0,1]$: $$\int_{0}^{1}6\,dx=6[x]_{0}^{1}=6.$$ 2) En $[1,2]$: $$\int_{1}^{2}(8-2x^{2})\,dx=\left[8x-\frac{2x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}.$$ Evaluamos: - En $x=2$: $8\cdot2-\dfrac{2\cdot 8}{3}=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$. - En $x=1$: $8\cdot1-\dfrac{2\cdot 1}{3}=8-\dfrac{2}{3}=\dfrac{22}{3}$. Diferencia: $$\frac{32}{3}-\frac{22}{3}=\frac{10}{3}.$$ Entonces: $$\int_{0}^{2}(f-g)=6+\frac{10}{3}=\frac{28}{3}.$$ Por simetría: $$\text{Área}=2\cdot\frac{28}{3}=\frac{56}{3}.$$ Área del recinto: **$\displaystyle \frac{56}{3}$** unidades cuadradas.