Área entre una parábola y el valor absoluto de otra

**a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.** Para trabajar con la función $g(x) = |x^2 - 1|$, primero debemos expresarla como una función definida a trozos. Para ello, estudiamos el signo de $x^2 - 1$: - $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. - El signo de $x^2 - 1$ es positivo en $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ y negativo en $(-1, 1)$. Por tanto: $$g(x)=\begin{cases} x^2-1 & \text{si } x \le -1,\\ 1-x^2 & \text{si } -1 < x < 1,\\ x^2-1 & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto $|u|$ es $u$ si $u \ge 0$ y $-u$ si $u < 0$. Siempre conviene definir los trozos antes de operar.

Para hallar los puntos de intersección igualamos $f(x) = g(x)$. Analizamos los dos casos del valor absoluto: **Caso 1:** $x^2 - 1 \ge 0$ (es decir, $|x| \ge 1$) $$-x^2 + 7 = x^2 - 1 \implies 8 = 2x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$$ Como ambos valores cumplen $|x| \ge 1$, son soluciones válidas. **Caso 2:** $x^2 - 1 < 0$ (es decir, $|x| < 1$) $$-x^2 + 7 = -(x^2 - 1) \implies -x^2 + 7 = -x^2 + 1 \implies 7 = 1.$$ Esto es una contradicción, por lo que no hay puntos de intersección en el intervalo $(-1, 1)$. Para obtener las coordenadas $y$, sustituimos en $f(x)$: $f(2) = -(2)^2 + 7 = 3$. $f(-2) = -(-2)^2 + 7 = 3$. ✅ **Resultado (puntos de intersección):** $$\boxed{P_1(-2, 3) \text{ y } P_2(2, 3)}$$

Realizamos el esbozo de las gráficas: - $f(x) = -x^2 + 7$ es una parábola cóncava (hacia abajo) con vértice en $(0, 7)$. - $g(x) = |x^2 - 1|$ es la parábola $x^2 - 1$ con la parte negativa reflejada hacia arriba. El recinto está limitado superiormente por $f(x)$ e inferiormente por $g(x)$ entre los puntos $x = -2$ y $x = 2$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -x^2 + 7", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = |x^2 - 1|", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg", "latex": "|x^2 - 1| \le y \le -x^2 + 7 \left\{-2 \le x \le 2\right\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -1, "top": 8 } } }

**b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.** El área $A$ viene dada por la integral de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx$$ Observamos que ambas funciones son **pares** ($f(x)=f(-x)$ y $g(x)=g(-x)$), por lo que el recinto es simétrico respecto al eje $Y$. Podemos calcular el área de la mitad derecha y multiplicar por 2: $$A = 2 \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx$$ Debido a la definición a trozos de $g(x)$, debemos dividir la integral en el punto $x = 1$: $$A = 2 \left[ \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{1}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx \right]$$ Sustituimos las expresiones según los intervalos: - En $[0, 1]$, $g(x) = 1 - x^2$. - En $[1, 2]$, $g(x) = x^2 - 1$. $$A = 2 \left[ \int_{0}^{1} ((-x^2 + 7) - (1 - x^2)) \, dx + \int_{1}^{2} ((-x^2 + 7) - (x^2 - 1)) \, dx \right]$$

Simplificamos los integrandos: 1. Primera parte ($0 \le x \le 1$): $$\int_{0}^{1} (-x^2 + 7 - 1 + x^2) \, dx = \int_{0}^{1} 6 \, dx = [6x]_0^1 = 6 - 0 = 6.$$ 2. Segunda parte ($1 \le x \le 2$): $$\int_{1}^{2} (-x^2 + 7 - x^2 + 1) \, dx = \int_{1}^{2} (-2x^2 + 8) \, dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 8x \right]_1^2$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\left( -\frac{2(2)^3}{3} + 8(2) \right) - \left( -\frac{2(1)^3}{3} + 8(1) \right) = \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 8 \right)$$ $$= \frac{32}{3} - \frac{22}{3} = \frac{10}{3}.$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Sumamos los resultados obtenidos y multiplicamos por 2 debido a la simetría: $$A = 2 \left( 6 + \frac{10}{3} \right) = 2 \left( \frac{18 + 10}{3} \right) = 2 \left( \frac{28}{3} \right) = \frac{56}{3}.$$ El área del recinto es de $\frac{56}{3}$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \dfrac{56}{3} \approx 18,67 \text{ u}^2}$$