Crecimiento, decrecimiento y extremos absolutos de una función con exponencial

Apartado a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Dada $$f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)e^{-x^{2}},$$ derivamos usando la regla del producto. - Derivada del primer factor: $\left(x-\frac12\right)'=1$. - Derivada del segundo factor: $(e^{-x^2})'=e^{-x^2}\cdot(-2x)$ (por regla de la cadena). Entonces: $$f'(x)=1\cdot e^{-x^{2}}+\left(x-\frac{1}{2}\right)e^{-x^{2}}(-2x).$$ Factorizamos $e^{-x^{2}}$ (siempre positivo): $$f'(x)=e^{-x^{2}}\left[1-2x\left(x-\frac{1}{2}\right)\right].$$ Simplificamos el corchete: $$-2x\left(x-\frac12\right)=-2x^{2}+x,$$ así que $$f'(x)=e^{-x^{2}}\left(-2x^{2}+x+1\right).$$ Como $e^{-x^{2}}>0$ para todo $x$, el signo de $f'(x)$ depende solo del polinomio $$p(x)=-2x^{2}+x+1.$$

Apartado a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Resolvemos: $$-2x^{2}+x+1=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}-x-1=0.$$ Calculamos el discriminante: $$\Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9.$$ Raíces: $$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$ Por tanto, $$x_1=-\frac12,\qquad x_2=1.$$ Como $p(x)$ es una parábola con coeficiente principal negativo ($-2<0$), se cumple: - $p(x)>0$ entre las raíces: $\left(-\dfrac12,\,1\right)$. - $p(x)<0$ fuera de ellas: $(-\infty,-\dfrac12)$ y $(1,\infty)$. Luego: - $f'(x)>0$ en $\left(-\dfrac12,\,1\right)$ $\Rightarrow$ **$f$ crece** ahí. - $f'(x)<0$ en $(-\infty,-\dfrac12)$ y $(1,\infty)$ $\Rightarrow$ **$f$ decrece** ahí. Conclusión del apartado a): - Creciente en **$\left(-\dfrac12,\,1\right)$**. - Decreciente en **$(-\infty,-\dfrac12)$** y **$(1,\infty)$**.

Apartado b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Para extremos absolutos en $\mathbb{R}$, miramos: - Puntos críticos: $x=-\dfrac12$ y $x=1$. - Comportamiento cuando $x\to\pm\infty$. Primero, el límite en los extremos del dominio: $$\lim_{x\to\pm\infty}\left(x-\frac12\right)e^{-x^{2}}=0,$$ porque $e^{-x^{2}}\to 0$ muy rápido y domina al factor lineal. Así que los valores absolutos máximos/mínimos (si existen) se compararán con los valores en los puntos críticos.

Apartado b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Calculamos: 1) En $x=1$: $$f(1)=\left(1-\frac12\right)e^{-1}=\frac12\,e^{-1}=\frac{1}{2e}.$$ 2) En $x=-\frac12$: $$f\!\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12-\frac12\right)e^{-(-1/2)^{2}} =(-1)e^{-1/4}=-e^{-1/4}.$$ Como $f(x)\to 0$ cuando $x\to\pm\infty$, comparamos con $0$: - $f(1)=\dfrac{1}{2e}>0$, por tanto es el **máximo absoluto** (supera a $0$). - $f\!\left(-\dfrac12\right)=-e^{-1/4}<0$, y es menor que $0$, por tanto es el **mínimo absoluto**. Conclusión del apartado b): - Máximo absoluto en **$x=1$**, con valor **$f(1)=\dfrac{1}{2e}$**. - Mínimo absoluto en **$x=-\dfrac12$**, con valor **$f\!\left(-\dfrac12\right)=-e^{-1/4}$**.