Monotonía y extremos absolutos de una función exponencial

**a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función $f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2}$, primero calculamos su primera derivada utilizando la regla del producto y la regla de la cadena. Sea $u(x) = x - \frac{1}{2}$ y $v(x) = e^{-x^2}$. Sus derivadas son: - $u'(x) = 1$ - $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x)$ Aplicando $(uv)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2}(-2x)$$ Factorizamos $e^{-x^2}$: $$f'(x) = e^{-x^2} \left[ 1 - 2x \left(x - \frac{1}{2}\right) \right]$$ $$f'(x) = e^{-x^2} (1 - 2x^2 + x)$$ $$f'(x) = (-2x^2 + x + 1) e^{-x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, la derivada del exponente $-x^2$ es $-2x$. $$\boxed{f'(x) = (-2x^2 + x + 1) e^{-x^2}}$$

Los puntos críticos se obtienen igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies (-2x^2 + x + 1) e^{-x^2} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x^2}$ nunca es nula ($e^{-x^2} \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$), la ecuación se reduce a: $$-2x^2 + x + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-2)(1)}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 \pm 3}{-4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ - $x_2 = \frac{-1 - 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$ Estos puntos dividen la recta real en los intervalos: $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 1)$ y $(1, +\infty)$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para determinar si la función crece o decrece. Dado que $e^{-x^2}$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ coincide con el del polinomio $-2x^2 + x + 1$. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ Justificación del signo: - Para $x = -1 \in (-\infty, -1/2)$: $f'(-1) = (-2-1+1)e^{-1} = -2/e \lt 0$. - Para $x = 0 \in (-1/2, 1)$: $f'(0) = (0+0+1)e^0 = 1 \gt 0$. - Para $x = 2 \in (1, +\infty)$: $f'(2) = (-8+2+1)e^{-4} = -5e^{-4} \lt 0$. ✅ **Resultado (intervalos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decrecimiento: } (-\infty, -1/2) \cup (1, +\infty) \\ &\text{Crecimiento: } (-1/2, 1) \end{aligned}}$$

**b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Los extremos absolutos de una función continua en $\mathbb{R}$ pueden encontrarse entre sus extremos relativos o estudiando el comportamiento en los extremos del dominio (límites al infinito). Calculamos los valores de $f(x)$ en los puntos críticos hallados: - En $x = -1/2$: $$f(-1/2) = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) e^{-(-1/2)^2} = -1 \cdot e^{-1/4} = -e^{-1/4}$$ - En $x = 1$: $$f(1) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) e^{-1^2} = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e}$$ 💡 **Tip:** Aproximadamente, $f(-1/2) \approx -0,778$ y $f(1) \approx 0,184$.

Para confirmar si estos extremos son absolutos, calculamos los límites de la función cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1/2}{e^{x^2}} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x - 1/2}{e^{x^2}} = 0$$ En ambos casos, el límite es $0$ porque la exponencial $e^{x^2}$ crece mucho más rápido que el polinomio lineal del numerador. Como la función tiende a $0$ por ambos lados, y tenemos un valor negativo ($-e^{-1/4}$) y uno positivo ($\frac{1}{2e}$), podemos asegurar que: - El mínimo relativo en $x = -1/2$ es el **mínimo absoluto**. - El máximo relativo en $x = 1$ es el **máximo absoluto**.

Resumimos los resultados obtenidos para los extremos absolutos: - **Máximo absoluto:** Se alcanza en el punto $\left(1, \dfrac{1}{2e}\right)$. - **Mínimo absoluto:** Se alcanza en el punto $\left(-\dfrac{1}{2}, -e^{-1/4}\right)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máx. absoluto en } x=1, \text{ valor } f(1) = \frac{1}{2e} \\ &\text{Mín. absoluto en } x=-\frac{1}{2}, \text{ valor } f(-1/2) = -e^{-1/4} \end{aligned}}$$