Determinar parámetros en una función trigonométrica por condiciones de tangencia

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la función definida por $$f(x)=a+b\cos(x)+c\sen(x).$$ Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x=\dfrac{\pi}{2}$ a la recta $y=1$ como recta tangente, y que la recta $y=x-1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$. Las condiciones del enunciado se traducen así: 1) “La recta $y=1$ es tangente en $x=\dfrac{\pi}{2}$” significa: - El punto de tangencia pertenece a la gráfica: $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$ - La pendiente de la tangente coincide con la derivada. Como $y=1$ es horizontal, su pendiente es $0$, luego: $$f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$ 2) “La recta $y=x-1$ corta a la gráfica en el punto de abscisa $x=0$” significa que el punto $(0,-1)$ está en la gráfica: $$f(0)=0-1=-1.$$

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Calculamos las expresiones de $f(0)$ y $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$: - Para $x=0$: $$f(0)=a+b\cos(0)+c\sen(0)=a+b\cdot 1+c\cdot 0=a+b.$$ Como $f(0)=-1$, obtenemos $$a+b=-1.$$ - Para $x=\dfrac{\pi}{2}$: $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=a+b\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+c\sen\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=a+b\cdot 0+c\cdot 1=a+c.$$ Como $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$, obtenemos $$a+c=1.$$

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Derivamos: $$f(x)=a+b\cos(x)+c\sen(x)$$ $$f'(x)=0+b(-\sen x)+c(\cos x)=-b\sen(x)+c\cos(x).$$ Aplicamos la condición $f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$: $$f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-b\sen\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+c\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-b\cdot 1+c\cdot 0=-b.$$ Entonces: $$-b=0\quad\Rightarrow\quad b=0.$$

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Con $b=0$, la ecuación $a+b=-1$ queda: $$a=-1.$$ Sustituimos en $a+c=1$: $$-1+c=1\quad\Rightarrow\quad c=2.$$ Por tanto, los valores son: - **$a=-1$** - **$b=0$** - **$c=2$** y la función queda: $$f(x)=-1+2\sen(x).$$