Cálculo de parámetros en función trigonométrica

El enunciado indica que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. Esto significa que en ese valor de $x$, tanto la función $f(x)$ como la recta tienen la misma ordenada ($y$). Primero, calculamos el valor de $y$ en la recta para $x = 0$: $$y = 0 - 1 = -1$$ Por lo tanto, el punto de corte es $(0, -1)$, lo que implica que $f(0) = -1$. Sustituimos en la expresión de la función: $$f(0) = a + b \cos(0) + c \operatorname{sen}(0) = -1$$ Como $\cos(0) = 1$ y $\operatorname{sen}(0) = 0$: $$a + b(1) + c(0) = -1 \implies a + b = -1$$ 💡 **Tip:** Si dos gráficas se cortan en un punto, comparten las mismas coordenadas $(x, y)$. En este caso, usamos la recta para hallar la $y$ que falta.

Se nos dice que en $x = \frac{\pi}{2}$ la recta tangente es $y = 1$. Esto nos aporta dos informaciones cruciales: 1. **Punto de paso:** La función pasa por el punto donde la recta tangente toca a la curva. Si la tangente es $y = 1$, para cualquier $x$ (incluido $x = \frac{\pi}{2}$), la ordenada es $y = 1$. Por tanto, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. 2. **Pendiente:** La pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto ($f'(x_0)$). La recta $y = 1$ es horizontal, por lo que su pendiente es $0$. Así pues, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta tangente es de la forma $y = k$ (constante), la función tiene un extremo relativo o un punto de inflexión de tangente horizontal en ese punto, y su derivada es $0$.

Derivamos la función $f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)$: $$f'(x) = -b \operatorname{sen}(x) + c \cos(x)$$ Ahora aplicamos las dos condiciones obtenidas en el paso anterior: **Condición 1: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$** $$a + b \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + c \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$ Como $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ y $\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$: $$a + b(0) + c(1) = 1 \implies a + c = 1$$ **Condición 2: $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$** $$-b \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) + c \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$-b(1) + c(0) = 0 \implies -b = 0 \implies b = 0$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los valores de las razones trigonométricas en los ejes. $\operatorname{sen}(\pi/2)=1$ y $\cos(\pi/2)=0$.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones con las incógnitas $a, b$ y $c$: 1) $a + b = -1$ 2) $a + c = 1$ 3) $b = 0$ Sustituimos $b = 0$ en la primera ecuación: $$a + 0 = -1 \implies a = -1$$ Ahora, sustituimos $a = -1$ en la segunda ecuación: $$-1 + c = 1 \implies c = 1 + 1 \implies c = 2$$ Por tanto, los valores buscados son: $$\boxed{a = -1, \quad b = 0, \quad c = 2}$$ La función resultante es $f(x) = -1 + 2 \operatorname{sen}(x)$.