Rectas cruzadas y plano paralelo equidistante

Apartado a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. Para $r$: $$y=0,\ 2x-z=0\Rightarrow z=2x.$$ Tomamos $x=t$: $$r:(x,y,z)=(t,0,2t).$$ Vector director: $$\vec v_r=(1,0,2).$$ Para $s$: $$z=0,\ x+y+7=0\Rightarrow x=-y-7.$$ Tomamos $y=u$: $$s:(x,y,z)=(-u-7,u,0).$$ Vector director: $$\vec v_s=(-1,1,0).$$

Apartado a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. No son paralelas porque $\vec v_r=(1,0,2)$ no es proporcional a $\vec v_s=(-1,1,0)$. Comprobamos si se cortan: igualamos un punto de $r$ con uno de $s$: $$(t,0,2t)=(-u-7,u,0).$$ De la coordenada $y$: $$0=u\Rightarrow u=0.$$ Entonces de $x$: $$t=-7,$$ y de $z$: $$2t=0\Rightarrow t=0,$$ contradicción. Luego **no se cortan** y no son paralelas, así que son **rectas cruzadas**.

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas. Un plano paralelo a ambas rectas debe contener direcciones paralelas a $\vec v_r$ y $\vec v_s$. Por tanto su vector normal $\vec n$ es perpendicular a ambas direcciones: $$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s.$$ Calculamos: $$\vec v_r\times\vec v_s=(1,0,2)\times(-1,1,0)=(-2,-2,1).$$ Podemos usar el normal equivalente $\vec n=(2,2,-1)$. La familia de planos con ese normal es: $$2x+2y-z+d=0.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas. Como el plano es paralelo a una recta, la distancia de la recta al plano es la distancia de **cualquier punto** de la recta al plano. Tomamos un punto de $r$: por ejemplo $R_0=(0,0,0)$. Su distancia al plano es proporcional a: $$|2\cdot 0+2\cdot 0-0+d|=|d|.$$ Tomamos un punto de $s$: por ejemplo $S_0=(-7,0,0)$ (poniendo $u=0$). Evaluamos: $$|2(-7)+2\cdot 0-0+d|=|-14+d|=|d-14|.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas. La condición de equidistancia es: $$|d|=|d-14|.$$ Elevando al cuadrado: $$d^2=(d-14)^2=d^2-28d+196\ \Rightarrow\ 28d=196\ \Rightarrow\ d=7.$$ Por tanto, el plano pedido es: $$\mathbf{2x+2y-z+7=0.}$$