Posición relativa de dos rectas y plano equidistante

**a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta expresándolas en forma paramétrica. Para la recta $r$: De $2x - z = 0$ obtenemos $z = 2x$. Como $y = 0$, si hacemos $x = \lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = 2\lambda \end{cases} \implies P_r(0, 0, 0), \quad \vec{v_r} = (1, 0, 2)$$ Para la recta $s$: De $x + y + 7 = 0$ obtenemos $y = -x - 7$. Como $z = 0$, si hacemos $x = \mu$: $$s \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = -7 - \mu \\ z = 0 \end{cases} \implies P_s(0, -7, 0), \quad \vec{v_s} = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás.

Para determinar la posición relativa, analizamos la dependencia lineal de los vectores directores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$, y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s} = (0 - 0, -7 - 0, 0 - 0) = (0, -7, 0)$. 1. **Vectores directores**: No son proporcionales, ya que $\frac{1}{1} \neq \frac{0}{-1}$. Por tanto, las rectas no son paralelas ni coincidentes. 2. **Determinante de la matriz formada por los tres vectores**: Calculamos $|\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}|$ por la regla de Sarrus: $$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -7 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right| = (1 \cdot -1 \cdot 0) + (1 \cdot -7 \cdot 2) + (0 \cdot 0 \cdot 0) - (0 \cdot -1 \cdot 2) - (1 \cdot 0 \cdot 0) - (1 \cdot -7 \cdot 0)$$ $$= 0 - 14 + 0 - (0 + 0 + 0) = -14$$ Como el determinante es distinto de cero ($-14 \neq 0$), los vectores son linealmente independientes y el rango de la matriz es 3. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas.** Un plano $\pi$ paralelo a $r$ y $s$ tendrá como vector normal el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right|$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(0 - (-2)) - \vec{j}(0 - 2) + \vec{k}(-1 - 0) = 2\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (2, 2, -1)$$ Cualquier plano paralelo a estas rectas tendrá la forma: $$\pi \equiv 2x + 2y - z + D = 0$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial genera un vector perpendicular a otros dos, ideal para hallar la orientación de planos paralelos a dos rectas.

Para que el plano equidiste de ambas rectas, la distancia de $P_r$ a $\pi$ debe ser igual a la distancia de $P_s$ a $\pi$: $$d(P_r, \pi) = d(P_s, \pi)$$ Recordamos la fórmula de distancia punto-plano: $d(P, \pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + D|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Como el denominador será el mismo para ambos puntos ($\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$), planteamos: $$|2(0) + 2(0) - (0) + D| = |2(0) + 2(-7) - (0) + D|$$ $$|D| = |D - 14|$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $D = D - 14 \implies 0 = -14$ (Sin solución). 2. $D = -(D - 14) \implies D = -D + 14 \implies 2D = 14 \implies D = 7$. 💡 **Tip:** El plano que equidista de dos rectas que se cruzan es el plano "medio" entre ellas que es paralelo a ambas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 2x + 2y - z + 7 = 0}$$