Simetría de puntos respecto a rectas y planos

**a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2, 2, 1)$ respecto de la recta $r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}$** Para trabajar con la recta $r$, es conveniente pasar sus ecuaciones de forma implícita a paramétrica. Resolvemos el sistema en función de un parámetro $\lambda$ haciendo $z = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $y = 1 + z \implies y = 1 + \lambda$. 2. Sustituimos en la primera: $x = 2 + 2y - z = 2 + 2(1 + \lambda) - \lambda = 2 + 2 + 2\lambda - \lambda = 4 + \lambda$. Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos el punto de la recta $A_r(4, 1, 0)$ y su vector director $\vec{d_r} = (1, 1, 1)$. 💡 **Tip:** Para pasar a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (en este caso $z$) y despejar las demás.

Para hallar el simétrico $P'$, primero calculamos la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$, a la que llamaremos $M$. Este punto $M$ será la intersección de la recta $r$ con un plano $\pi'$ perpendicular a ella que pase por $P$. Como $\pi'$ es perpendicular a $r$, el vector normal del plano $\vec{n_{\pi'}}$ coincide con el vector director de la recta $\vec{d_r}$: $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{d_r} = (1, 1, 1)$$ La ecuación del plano $\pi'$ será de la forma $x + y + z + D = 0$. Obligamos a que pase por $P(2, 2, 1)$: $$2 + 2 + 1 + D = 0 \implies 5 + D = 0 \implies D = -5$$ El plano auxiliar es **$\pi' \equiv x + y + z - 5 = 0$**.

El punto $M$ es la intersección de $r$ con $\pi'$. Sustituimos las expresiones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi'$: $$(4 + \lambda) + (1 + \lambda) + \lambda - 5 = 0$$ $$4 + \lambda + 1 + \lambda + \lambda - 5 = 0$$ $$3\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las paramétricas de $r$, obtenemos el punto de corte: $$M(4 + 0, 1 + 0, 0) \implies M(4, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es el punto de la recta más cercano a $P$, es decir, su proyección ortogonal.

El punto $M(4, 1, 0)$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el simétrico buscado $P'(x', y', z')$. Usando la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas: $$P' = 2(4, 1, 0) - (2, 2, 1) = (8, 2, 0) - (2, 2, 1) = (6, 0, -1)$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{P'(6, 0, -1)}$$

**b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $Q(1, -1, -3)$ respecto del plano $\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0$.** Para hallar el simétrico de un punto respecto a un plano, primero calculamos la proyección ortogonal de $Q$ sobre $\pi$, que llamaremos $M$. Para ello, definimos una recta $s$ que pase por $Q$ y sea perpendicular al plano $\pi$. El vector director de $s$ será el vector normal del plano $\pi$: $$\vec{n_{\pi}} = (1, -2, 1) \implies \vec{d_s} = (1, -2, 1)$$ La ecuación paramétrica de la recta $s$ que pasa por $Q(1, -1, -3)$ es: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = -1 - 2\mu \\ z = -3 + \mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $(A,B,C)$.

El punto $M$ es la intersección de la recta $s$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de $s$ en la ecuación de $\pi$: $$(1 + \mu) - 2(-1 - 2\mu) + (-3 + \mu) + 6 = 0$$ $$1 + \mu + 2 + 4\mu - 3 + \mu + 6 = 0$$ $$6\mu + 6 = 0 \implies 6\mu = -6 \implies \mu = -1$$ Sustituimos el valor de $\mu = -1$ en la recta $s$ para obtener $M$: $$x = 1 + (-1) = 0$$ $$y = -1 - 2(-1) = 1$$ $$z = -3 + (-1) = -4$$ El punto de intersección es **$M(0, 1, -4)$**.

Como $M$ es la proyección de $Q$ sobre el plano, es el punto medio entre $Q$ y su simétrico $Q'(x'', y'', z'')$. De nuevo, usamos la relación del punto medio: $$Q' = 2M - Q$$ $$Q' = 2(0, 1, -4) - (1, -1, -3)$$ $$Q' = (0, 2, -8) - (1, -1, -3)$$ $$Q' = (0 - 1, 2 - (-1), -8 - (-3)) = (-1, 3, -5)$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{Q'(-1, 3, -5)}$$