Geometría en el espacio 2024 Andalucia
Simetrías en el espacio respecto a una recta y un plano
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2,2,1)$ respecto de la recta $$r \equiv \begin{cases}
x-2y+z=2\\
y-z=1
\end{cases}$$
b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $Q(1,-1,-3)$ respecto del plano $$\pi \equiv x-2y+z+6=0.$$
Paso 1
Parametrizar la recta r
Apartado a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2,2,1)$ respecto de la recta $$r \equiv \begin{cases}
x-2y+z=2\\
y-z=1
\end{cases}$$
De $y-z=1$ se obtiene $y=z+1$.
Sustituimos en $x-2y+z=2$:
$$x-2(z+1)+z=2\ \Rightarrow\ x-z-2=2\ \Rightarrow\ x=z+4.$$
Tomando $z=t$:
$$r:\ (x,y,z)=(t+4,\ t+1,\ t).$$
Un punto de la recta es $R_0=(4,1,0)$ (con $t=0$) y un vector director es:
$$\vec v=(1,1,1).$$
Paso 2
Proyección ortogonal de P sobre la recta
Apartado a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2,2,1)$ respecto de la recta $$r \equiv \begin{cases}
x-2y+z=2\\
y-z=1
\end{cases}$$
Si $H$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta, entonces:
$$H=R_0+\lambda \vec v=(4+\lambda,\ 1+\lambda,\ \lambda).$$
La condición de perpendicularidad es:
$$(P-H)\cdot \vec v=0.$$
Con $P(2,2,1)$:
$$P-H=(2-(4+\lambda),\ 2-(1+\lambda),\ 1-\lambda)=(-2-\lambda,\ 1-\lambda,\ 1-\lambda).$$
Producto escalar con $(1,1,1)$:
$$(-2-\lambda)+(1-\lambda)+(1-\lambda)=0\ \Rightarrow\ -3\lambda=0\ \Rightarrow\ \lambda=0.$$
Así, el punto de proyección es:
$$H=(4,1,0).$$
Paso 3
Reflejar P respecto de la recta
Apartado a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $P(2,2,1)$ respecto de la recta $$r \equiv \begin{cases}
x-2y+z=2\\
y-z=1
\end{cases}$$
Si $H$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$, entonces:
$$H=\frac{P+P'}{2}\ \Rightarrow\ P'=2H-P.$$
Calculamos:
$$P'=2(4,1,0)-(2,2,1)=(8,2,0)-(2,2,1)=(6,0,-1).$$
Por tanto, el simétrico es **$\mathbf{P'(6,0,-1)}$**.
Paso 4
Reflejar Q respecto del plano π usando la fórmula
Apartado b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de $Q(1,-1,-3)$ respecto del plano $$\pi \equiv x-2y+z+6=0.$$
El plano $\pi: ax+by+cz+d=0$ tiene normal $\vec n=(a,b,c)=(1,-2,1)$.
La reflexión de $Q(x_0,y_0,z_0)$ respecto al plano se obtiene con:
$$Q'=Q-2\,\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c).$$
Aquí $a=1$, $b=-2$, $c=1$, $d=6$ y $Q(1,-1,-3)$:
$$s=ax_0+by_0+cz_0+d=1\cdot 1+(-2)(-1)+1\cdot(-3)+6=1+2-3+6=6.$$
$$a^2+b^2+c^2=1^2+(-2)^2+1^2=1+4+1=6.$$
Entonces:
$$Q'=Q-2\cdot\frac{6}{6}(1,-2,1)=Q-2(1,-2,1).$$
$$Q'=(1,-1,-3)-(2,-4,2)=(-1,3,-5).$$
Por tanto, el simétrico es **$\mathbf{Q'(-1,3,-5)}$**.