Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de $k$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ k-1 & 1 & 1 \\ 1 & k-1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ k-1 & 1 & 1 & k \\ 1 & k-1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el tipo de solución. 💡 **Recuerda:** - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas) $\Rightarrow$ Sistema Compatible Determinado (SCD). - Si $rg(A) = rg(A^*) < n$ $\Rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminado (SCI). - Si $rg(A) \neq rg(A^*)$ $\Rightarrow$ Sistema Incompatible (SI).

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para hallar los valores críticos de $k$: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ k-1 & 1 & 1 \\ 1 & k-1 & 1 \end{vmatrix} = [0 + 1 + (k-1)^2] - [1 + 0 + (k-1)]$$ Desarrollamos la expresión: $$|A| = 1 + (k^2 - 2k + 1) - 1 - k + 1 = k^2 - 3k + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores donde el rango de $A$ es menor que 3: $$k^2 - 3k + 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos los valores críticos: **$k=1$** y **$k=2$**.

Analizamos el comportamiento del sistema según los valores de $k$ hallados: **Caso 1: $k \neq 1$ y $k \neq 2$** Si $k$ es distinto de 1 y 2, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: $$rg(A) = 3 = rg(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única para cada valor de $k$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k \neq 1, 2 \Rightarrow \text{SCD}}$$

**Caso 2: $k = 1$** Sustituimos $k=1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 1 y la fila 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). Por tanto, el determinante de $A$ es 0 y el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow rg(A) = 2$$ Como la columna de términos independientes es igual a la segunda y tercera columna de la matriz de coeficientes en las dos primeras filas, y no añade información en la tercera, el rango de la ampliada también es 2 ($rg(A^*) = 2$). Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = 1 \Rightarrow \text{SCI}}$$

**Caso 3: $k = 2$** Sustituimos $k=2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A$: Como $|A|=0$, el rango es menor que 3. El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow rg(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ tomando las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = [0+2+1] - [1+0+0] = 3-1 = 2 \neq 0 \Rightarrow rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, según Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = 2 \Rightarrow \text{SI}}$$

**b) [0,75 puntos] Para $k=1$ resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que $y=0$?** Para $k=1$, el sistema resultante es: $$\begin{cases} y+z=1 \\ x+z=0 \end{cases}$$ Como es un SCI con $rg=2$, usamos un parámetro. Sea **$z = t$** con $t \in \mathbb{R}$: 1. De la segunda ecuación: $x = -z \Rightarrow \mathbf{x = -t}$ 2. De la primera ecuación: $y = 1 - z \Rightarrow \mathbf{y = 1 - t}$ La solución general es $(x, y, z) = (-t, 1-t, t)$. Para ver si existe una solución con $y=0$: $$1 - t = 0 \Rightarrow t = 1$$ Sustituyendo $t=1$ en las expresiones de $x$ y $z$: $x = -1, \quad z = 1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Solución: } (-1, 0, 1)}$$