Álgebra 2024 Andalucia
Potencia de matriz nilpotente y ecuación matricial
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera la matriz $$A=\begin{pmatrix}
1 & 1/8 & 1/8\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
a) [1 punto] Calcula $A^{2024}$.
b) [1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2XA+I=O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.
Paso 1
Escribir A como I + N y estudiar N
Apartado a) [1 punto] Calcula $A^{2024}$.
Observa que $A$ es triangular superior con unos en la diagonal. Podemos escribir:
$$A=I+N,$$
donde
$$N=\begin{pmatrix}
0 & 1/8 & 1/8\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
Calculamos $N^2$. Como $N$ solo tiene fila 1 no nula y las columnas 2 y 3 solo tienen entrada en la fila 1, al multiplicar se obtiene todo 0:
$$N^2=O.$$
Esto significa que $N$ es **nilpotente de índice 2**.
Paso 2
Usar (I+N)^n con N^2=0
Apartado a) [1 punto] Calcula $A^{2024}$.
Si $N^2=0$, el binomio de Newton se corta:
$$(I+N)^n=I+nN.$$
Luego:
$$A^{2024}=(I+N)^{2024}=I+2024\,N.$$
Paso 3
Calcular A^2024 explícitamente
Apartado a) [1 punto] Calcula $A^{2024}$.
Multiplicamos $2024$ por las entradas de $N$:
$$2024\cdot \frac18=\frac{2024}{8}=253.$$
Por tanto:
$$A^{2024}=\begin{pmatrix}
1 & 253 & 253\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
Paso 4
Despejar X en A^2 X A + I = O
Apartado b) [1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2XA+I=O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.
La ecuación es:
$$A^2XA+I=O\ \Rightarrow\ A^2XA=-I.$$
Como $A$ es invertible (triangular con diagonal $1$), podemos multiplicar por inversas:
- Multiplicamos a la izquierda por $A^{-2}$:
$$XA=-A^{-2}.$$
- Multiplicamos a la derecha por $A^{-1}$:
$$X=-A^{-2}A^{-1}=-A^{-3}.$$
Paso 5
Calcular A^{-3} usando (I+N)^{-n} con N^2=0
Apartado b) [1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2XA+I=O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.
Como $A=I+N$ y $N^2=0$, se cumple:
$$(I+N)^{-1}=I-N,$$
y en general:
$$(I+N)^{-n}=I-nN.$$
Así:
$$A^{-3}=I-3N.$$
Paso 6
Obtener X y escribirla como matriz
Apartado b) [1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2XA+I=O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.
Como $X=-A^{-3}$:
$$X=-(I-3N)=-I+3N.$$
Y $3N$ es:
$$3N=\begin{pmatrix}
0 & 3/8 & 3/8\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
Por tanto:
$$\mathbf{X=\begin{pmatrix}
-1 & 3/8 & 3/8\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}.}$$