Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Calcula $A^{2024}$.** Para calcular una potencia elevada de una matriz, primero calculamos las primeras potencias ($A^2, A^3, \dots$) para intentar encontrar un patrón o ley de recurrencia. Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2/8 & 2/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2/8 & 2/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices triangulares con unos en la diagonal, observa cómo solo cambian los elementos fuera de la diagonal principal según la suma de sus posiciones correspondientes.

A partir de los resultados obtenidos, podemos inducir que la expresión general para $A^n$ es: $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n/8 & n/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para el caso particular $n = 2024$: $$A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 2024/8 & 2024/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la división $2024 : 8 = 253$: $$2024/8 = 253$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,5 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^2XA + I = O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$A^2 X A + I = O \implies A^2 X A = -I$$ Para que la solución sea posible, las matrices que multiplican a $X$ deben ser invertibles. Como $\det(A) = 1$ (es una matriz triangular y el producto de su diagonal es $1 \cdot 1 \cdot 1$), $A$ es invertible. Por tanto, $A^2$ también lo es. Multiplicamos por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda y por $A^{-1}$ por la derecha: $$X = (A^2)^{-1} (-I) A^{-1}$$ $$X = -(A^2)^{-1} A^{-1}$$ Utilizando la propiedad $(B \cdot C)^{-1} = C^{-1} B^{-1}$, sabemos que $(A^2 \cdot A)^{-1} = A^{-1} (A^2)^{-1}$. Entonces: $$X = -(A^2 \cdot A)^{-1} = -(A^3)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales el orden de los factores importa. Si multiplicas por una inversa por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Utilizando la fórmula general hallada en el apartado anterior, sabemos que: $$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para hallar $(A^3)^{-1}$ de forma rápida, observamos que si $A^n$ sigue el patrón $I + nB$ con $B^2 = O$, entonces su inversa es $I - nB$. Comprobamos: $$(A^3)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3/8 & -3/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X = -(A^3)^{-1}$: $$X = - \begin{pmatrix} 1 & -3/8 & -3/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$