Cálculo de una función a partir de su segunda derivada

Para hallar $f(x)$, debemos integrar la segunda derivada $f''(x)$ sucesivamente. La primera integración nos dará la función derivada $f'(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int x \cos(x) \, dx$$ Para resolver esta integral, utilizamos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla ALPES (Aritméticas antes que Trigonométricas). Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \sin(x)$ Aplicando la fórmula: $$f'(x) = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx$$ $$f'(x) = x \sin(x) - (-\cos(x)) + C_1$$ $$\boxed{f'(x) = x \sin(x) + \cos(x) + C_1}$$ Donde $C_1$ es la primera constante de integración.

Ahora integramos $f'(x)$ para obtener la función original $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x \sin(x) + \cos(x) + C_1) \, dx$$ Podemos separar la integral por la propiedad de linealidad: $$f(x) = \int x \sin(x) \, dx + \int \cos(x) \, dx + \int C_1 \, dx$$ Resolvemos la primera parte $\int x \sin(x) \, dx$ de nuevo por partes: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \sin(x) \, dx \implies v = -\cos(x)$ $$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) - \int -\cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x)$$ Sustituimos todos los términos en la expresión de $f(x)$: $$f(x) = \left[ -x \cos(x) + \sin(x) \right] + \sin(x) + C_1 x + C_2$$ $$\boxed{f(x) = -x \cos(x) + 2 \sin(x) + C_1 x + C_2}$$

Utilizamos los puntos por los que pasa la gráfica para hallar $C_1$ y $C_2$. El enunciado indica que pasa por $(0, \frac{\pi}{2})$ y $(\pi, 2\pi)$, lo que significa $f(0) = \frac{\pi}{2}$ y $f(\pi) = 2\pi$. **1. Aplicamos $f(0) = \frac{\pi}{2}$:** $$f(0) = -0 \cdot \cos(0) + 2 \sin(0) + C_1(0) + C_2 = \frac{\pi}{2}$$ $$0 + 0 + 0 + C_2 = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{C_2 = \frac{\pi}{2}}$$ **2. Aplicamos $f(\pi) = 2\pi$:** $$f(\pi) = -\pi \cos(\pi) + 2 \sin(\pi) + C_1 \pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi$$ Sabemos que $\cos(\pi) = -1$ y $\sin(\pi) = 0$: $$-\pi(-1) + 2(0) + C_1 \pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi$$ $$\pi + C_1 \pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi$$ $$C_1 \pi = 2\pi - \pi - \frac{\pi}{2}$$ $$C_1 \pi = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{C_1 = \frac{1}{2}}$$

Sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la expresión general de $f(x)$ para obtener la función buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = -x \cos(x) + 2 \sin(x) + \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2}}$$