Análisis 2024 Andalucia
Reconstruir una función a partir de f'' y dos puntos
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x)=x\cos(x)$$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$.
Paso 1
Integrar una vez para obtener f'(x)
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x)=x\cos(x)$$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$.
Integramos $f''(x)$:
$$f'(x)=\int x\cos x\,dx + C_1.$$
Por partes: $u=x\Rightarrow du=dx$, $dv=\cos x\,dx\Rightarrow v=\sin x$.
$$\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$
Así:
$$f'(x)=x\sin x+\cos x+C_1.$$
Paso 2
Integrar otra vez para obtener f(x)
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x)=x\cos(x)$$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$.
Integramos $f'(x)$:
$$f(x)=\int \left(x\sin x+\cos x+C_1\right)dx + C_2.$$
De nuevo por partes para $\int x\sin x\,dx$: $u=x$, $dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x$:
$$\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int \cos x\,dx=-x\cos x+\sin x.$$
Además:
$$\int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int C_1\,dx=C_1x.$$
Paso 3
Escritura de la familia de soluciones
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x)=x\cos(x)$$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$.
Sumando todo:
$$f(x)=\left(-x\cos x+\sin x\right)+\sin x+C_1x+C_2=-x\cos x+2\sin x+C_1x+C_2.$$
Paso 4
Usar el punto (0, π/2) para hallar C2
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x)=x\cos(x)$$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$.
Imponemos $f(0)=\dfrac{\pi}{2}$:
$$f(0)=-0\cdot\cos 0+2\sin 0+C_1\cdot 0+C_2=C_2.$$
Luego:
$$C_2=\frac{\pi}{2}.$$
Paso 5
Usar el punto (π, 2π) para hallar C1 y dar f(x)
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x)=x\cos(x)$$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$.
Imponemos $f(\pi)=2\pi$:
$$f(\pi)=-\pi\cos\pi+2\sin\pi+C_1\pi+\frac{\pi}{2}.$$
Como $\cos\pi=-1$ y $\sin\pi=0$:
$$f(\pi)=-\pi(-1)+0+C_1\pi+\frac{\pi}{2}=\pi+C_1\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}+C_1\pi.$$
Igualamos a $2\pi$:
$$\frac{3\pi}{2}+C_1\pi=2\pi\ \Rightarrow\ C_1\pi=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ C_1=\frac12.$$
Por tanto:
$$\mathbf{f(x)=-x\cos x+2\sin x+\frac12 x+\frac{\pi}{2}.}$$