Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para calcular una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$, primero debemos hallar la integral indefinida: $$F(x) = \int \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} dx$$ Como el grado del numerador ($3$) es mayor o igual que el grado del denominador ($2$), realizamos la división polinómica: $$ \begin{array}{r|l} x^3 + 0x^2 + 0x + 2 & x^2 - 1 \\ \hline -(x^3 - x) & x \\ \hline x + 2 & \end{array} $$ De la división obtenemos que el cociente es $C(x) = x$ y el resto es $R(x) = x + 2$. Por la propiedad de la división: $$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \implies \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} = x + \frac{x + 2}{x^2 - 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, el primer paso es realizar la división de polinomios.

Ahora debemos integrar la fracción racional $\frac{x + 2}{x^2 - 1}$. Factorizamos el denominador: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{x + 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$x + 2 = A(x + 1) + B(x - 1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $x$ (las raíces del denominador): - Si $x = 1$: $1 + 2 = A(1 + 1) \implies 3 = 2A \implies A = \frac{3}{2}$ - Si $x = -1$: $-1 + 2 = B(-1 - 1) \implies 1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$ Por tanto: $$\frac{x + 2}{x^2 - 1} = \frac{3/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}$$ 💡 **Tip:** El método de descomposición en fracciones simples permite transformar una fracción compleja en una suma de integrales de tipo logarítmico inmediatas.

Sustituimos la descomposición en la integral original: $$F(x) = \int \left( x + \frac{3/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} \right) dx$$ Integramos término a término: $$F(x) = \int x \, dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. No olvides incluir la constante de integración $C$.

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(0, 1)$, lo que significa que $F(0) = 1$. Sustituimos $x=0$ en nuestra expresión: $$F(0) = \frac{0^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|0 - 1| - \frac{1}{2} \ln|0 + 1| + C = 1$$ Como $\ln|1| = 0$ y $\ln|-1| = \ln(1) = 0$: $$0 + \frac{3}{2}(0) - \frac{1}{2}(0) + C = 1 \implies C = 1$$ La primitiva buscada es: $$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + 1$$ Podemos simplificar usando propiedades de los logaritmos (opcional): $$F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln \sqrt{\frac{|x-1|^3}{|x+1|}} + 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + 1}$$