Primitiva con condición de paso por un punto

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Considera la función $f$ definida por $$f(x)=x^3+\frac{2}{x^2-1},\quad \text{para } x\ne -1,\ x\ne 1.$$ Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. Una primitiva $F$ cumple $F'(x)=f(x)$, así que: $$F(x)=\int \left(x^3+\frac{2}{x^2-1}\right)dx=\int x^3\,dx+\int \frac{2}{x^2-1}\,dx.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Considera la función $f$ definida por $$f(x)=x^3+\frac{2}{x^2-1},\quad \text{para } x\ne -1,\ x\ne 1.$$ Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. La primera integral es directa: $$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Considera la función $f$ definida por $$f(x)=x^3+\frac{2}{x^2-1},\quad \text{para } x\ne -1,\ x\ne 1.$$ Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. Como $x^2-1=(x-1)(x+1)$: $$\frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.$$ Multiplicando por $(x-1)(x+1)$: $$2=A(x+1)+B(x-1)=(A+B)x+(A-B).$$ Igualamos coeficientes: $$A+B=0,\qquad A-B=2.$$ Resolviendo: $$A=1,\quad B=-1.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Considera la función $f$ definida por $$f(x)=x^3+\frac{2}{x^2-1},\quad \text{para } x\ne -1,\ x\ne 1.$$ Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. Entonces: $$\int \frac{2}{x^2-1}\,dx=\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\ln|x-1|-\ln|x+1|.$$ Podemos juntar logaritmos: $$\ln|x-1|-\ln|x+1|=\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Considera la función $f$ definida por $$f(x)=x^3+\frac{2}{x^2-1},\quad \text{para } x\ne -1,\ x\ne 1.$$ Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. Una primitiva general es: $$F(x)=\frac{x^4}{4}+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.$$ Como la gráfica pasa por $(0,1)$, se cumple $F(0)=1$: $$F(0)=0+\ln\left|\frac{-1}{1}\right|+C=\ln(1)+C=0+C=C.$$ Luego $C=1$. Por tanto, una primitiva es **$$\mathbf{F(x)=\frac{x^4}{4}+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+1}.$$**