Continuidad de función a trozos con parámetros

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera la función continua $f$ definida por $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x\cos(x)-a\,\sen(x)}{x^3} & \text{si } x<0,\\ b\cos(x)-1 & \text{si } x\ge 0. \end{cases}$$ Calcula $a$ y $b$. La función es continua y el único punto “delicado” es $x=0$ (porque el trozo izquierdo divide entre $x^3$). Para que sea continua en $0$ debe cumplirse: $$\lim_{x\to 0^-}\frac{x\cos x-a\,\sen x}{x^3}=f(0)=b\cos 0-1=b-1.$$

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera la función continua $f$ definida por $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x\cos(x)-a\,\sen(x)}{x^3} & \text{si } x<0,\\ b\cos(x)-1 & \text{si } x\ge 0. \end{cases}$$ Calcula $a$ y $b$. Cerca de $0$: $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4),\qquad \sen x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5).$$ Sustituimos en el numerador: \begin{align*} x\cos x-a\sen x&=x\left(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)\right)-a\left(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\right)\\ &=(1-a)x+\left(-\frac12+\frac{a}{6}\right)x^3+O(x^5). \end{align*} Dividiendo entre $x^3$: $$\frac{x\cos x-a\sen x}{x^3}=\frac{(1-a)x}{x^3}+\left(-\frac12+\frac{a}{6}\right)+O(x^2)=\frac{1-a}{x^2}+\left(-\frac12+\frac{a}{6}\right)+O(x^2).$$ Para que el límite exista y sea finito, debe desaparecer el término $\dfrac{1-a}{x^2}$, es decir: $$1-a=0\ \Rightarrow\ \mathbf{a=1}.$$

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera la función continua $f$ definida por $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x\cos(x)-a\,\sen(x)}{x^3} & \text{si } x<0,\\ b\cos(x)-1 & \text{si } x\ge 0. \end{cases}$$ Calcula $a$ y $b$. Con $a=1$, el límite queda determinado por el término constante: $$\lim_{x\to 0^-}\frac{x\cos x-\sen x}{x^3}= -\frac12+\frac{1}{6}= -\frac{3}{6}+\frac{1}{6}= -\frac{2}{6}= -\frac{1}{3}.$$

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera la función continua $f$ definida por $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x\cos(x)-a\,\sen(x)}{x^3} & \text{si } x<0,\\ b\cos(x)-1 & \text{si } x\ge 0. \end{cases}$$ Calcula $a$ y $b$. Como la continuidad exige $$\lim_{x\to 0^-}\frac{x\cos x-a\sen x}{x^3}=b-1,$$ y ya hemos obtenido el límite $-\dfrac13$, se cumple: $$b-1=-\frac13\ \Rightarrow\ b=1-\frac13=\frac{2}{3}.$$ Conclusión: **$\mathbf{a=1}$ y $\mathbf{b=\frac23}$**.