Continuidad y límites con parámetros

**Calcula $a$ y $b$.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en $x=0$, que es donde la función cambia de rama. La condición de continuidad en $x=0$ exige que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Comenzamos calculando el valor de la función y el límite por la derecha utilizando la segunda rama ($x \geq 0$): $$f(0) = b \cos(0) - 1 = b(1) - 1 = b - 1$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (b \cos(x) - 1) = b - 1$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto si los límites laterales existen, son finitos y coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Calculamos ahora el límite por la izquierda utilizando la primera rama: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x \cos(x) - a \operatorname{sen}(x)}{x^3}$$ Al evaluar en $x=0$, el denominador es $0$. Para que el límite sea finito (condición necesaria para la continuidad), el numerador también debe tender a $0$: $$\lim_{x \to 0^-} (x \cos(x) - a \operatorname{sen}(x)) = 0 \cdot 1 - a \cdot 0 = 0$$ Esta condición se cumple para cualquier valor de $a$ inicialmente, pero al aplicar la **Regla de L'Hôpital** para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{(x \cos(x) - a \operatorname{sen}(x))'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos(x) - x \operatorname{sen}(x) - a \cos(x)}{3x^2}$$ Nuevamente, el denominador tiende a $0$. Para que el límite pueda ser finito, el numerador debe ser $0$: $$\cos(0) - 0 \cdot \operatorname{sen}(0) - a \cos(0) = 1 - a = 0 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Si al aplicar L'Hôpital el denominador sigue siendo $0$, el numerador debe anularse también para evitar que el límite sea infinito.

Sustituimos $a=1$ en la expresión derivada y seguimos resolviendo el límite: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos(x) - x \operatorname{sen}(x) - \cos(x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x \operatorname{sen}(x)}{3x^2}$$ Simplificamos una $x$ del numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{-\operatorname{sen}(x)}{3x}$$ Podemos aplicar L'Hôpital de nuevo o usar el límite notable $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{-\operatorname{sen}(x)}{3x} = \frac{-1}{3} \cdot \lim_{x \to 0^-} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = -\frac{1}{3}$$ Por tanto, el límite por la izquierda es: $$\boxed{\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{1}{3}}$$

Para que la función sea continua, igualamos el límite por la izquierda con el valor obtenido en la derecha ($b-1$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$$ $$-\frac{1}{3} = b - 1$$ Despejamos $b$: $$b = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Ya tenemos ambos parámetros calculados. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = \frac{2}{3}}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función con los valores hallados, donde se observa la continuidad en el punto $x=0$.