Análisis 2024 Andalucia
Tangente paralela a una secante y normal en ln(x)
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1,0)$ y $B(e,1)$.
a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.
b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$.
Paso 1
Pendiente de la recta que une A y B
Apartado a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.
Para que la tangente sea paralela a la recta $AB$, ambas deben tener **la misma pendiente**.
La pendiente de la recta que pasa por $A(1,0)$ y $B(e,1)$ es:
$$m_{AB}=\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{e-1}.$$
Paso 2
Derivada de f y condición de paralelismo
Apartado a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.
La pendiente de la tangente en un punto de abscisa $x$ es $f'(x)$.
Como $f(x)=\ln(x)$ (con dominio $(0,+\infty)$),
$$f'(x)=\frac{1}{x}.$$
La condición de paralelismo es:
$$f'(x)=m_{AB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}=\frac{1}{e-1}.$$
Paso 3
Cálculo del punto (o puntos) de la gráfica
Apartado a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.
Resolviendo:
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{e-1}\ \Longrightarrow\ x=e-1.$$
Como $e-1>0$, el valor pertenece al dominio.
La ordenada correspondiente es:
$$y=f(e-1)=\ln(e-1).$$
Por tanto, el punto es **$\bigl(e-1,\ln(e-1)\bigr)$**.
Paso 4
Pendiente de la normal en A
Apartado b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$.
La recta normal en $A$ es perpendicular a la tangente en $A$.
Primero hallamos la pendiente de la tangente en $A(1,0)$:
$$m_T=f'(1)=\frac{1}{1}=1.$$
Si la normal es perpendicular, su pendiente cumple $m_T\,m_N=-1$, luego:
$$m_N=-\frac{1}{m_T}=-1.$$
Paso 5
Ecuación de la recta normal en A
Apartado b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$.
La recta normal pasa por $A(1,0)$ y tiene pendiente $m_N=-1$. Usamos la forma punto-pendiente:
$$y-0=-1\,(x-1).$$
Por tanto, la ecuación es **$y=-x+1$**.