Tangente paralela a secante y recta normal

**a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.** Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Primero, calculamos la pendiente de la recta que une los puntos $A(1, 0)$ y $B(e, 1)$ usando la fórmula: $$m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$ Sustituyendo los valores de los puntos: $$m_{AB} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de una recta que pasa por $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ mide la inclinación de la recta y es el cociente entre la diferencia de ordenadas y la de abscisas.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en cualquier punto $x$ viene dada por el valor de su derivada $f'(x)$. Dada $f(x) = \ln(x)$, su derivada es: $$f'(x) = \frac{1}{x}$$ El dominio de la función es $(0, +\infty)$, por lo que la derivada está definida para todos los puntos de su dominio. $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{x}}$$

Para que la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por $A$ y $B$, sus pendientes deben ser iguales: $$f'(x) = m_{AB} \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{e - 1}$$ Despejamos $x$: $$x = e - 1$$ Debemos comprobar si este valor pertenece al dominio de la función $(0, +\infty)$. Como $e \approx 2,718$, entonces $e - 1 \approx 1,718 > 0$. Por tanto, el punto existe. 💡 **Tip:** Siempre verifica que las soluciones obtenidas para $x$ se encuentren dentro del dominio de la función original.

Ahora calculamos la ordenada $y$ del punto sustituyendo $x = e - 1$ en la función original $f(x) = \ln(x)$: $$y = f(e - 1) = \ln(e - 1)$$ El punto de la gráfica donde la tangente es paralela al segmento $AB$ es: ✅ **Resultado (Punto):** $$\boxed{P(e - 1, \ln(e - 1))}$$ *(Nota: Este resultado es una aplicación directa del Teorema del Valor Medio de Lagrange)*.

**b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$.** El punto es $A(1, 0)$, lo que implica que la abscisa es $a = 1$. Primero, hallamos la pendiente de la recta tangente en ese punto: $$m_T = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$$ La pendiente de la recta normal ($m_N$) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente: $$m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{1} = -1$$ 💡 **Tip:** La condición de perpendicularidad entre dos rectas de pendientes $m_1$ y $m_2$ es $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Utilizamos la ecuación en forma punto-pendiente para el punto $A(1, 0)$ y la pendiente $m_N = -1$: $$y - y_A = m_N(x - x_A)$$ $$y - 0 = -1(x - 1)$$ Simplificando la expresión: $$y = -x + 1$$ ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = -x + 1}$$