Área de un triángulo y coplanaridad de puntos en el espacio

**a) [1,5 puntos] Determina $a$ para que el triángulo $OAB$ tenga área 3 unidades cuadradas.** El área de un triángulo definido por tres puntos $O$, $A$ y $B$ en el espacio se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores que parten de un mismo vértice, en este caso el origen $O(0,0,0)$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$$ Primero, obtenemos los vectores: $$\vec{OA} = (a - 0, -1 - 0, 2 - 0) = (a, -1, 2)$$ $$\vec{OB} = (a - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (a, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores nos da un vector cuya longitud (módulo) es igual al área del paralelogramo que forman. Por eso, para el triángulo, dividimos entre 2.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ mediante el determinante de la matriz con los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & -1 & 2 \\ a & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o el desarrollo por menores: - Componente $\vec{i}$: $(-1)\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2$ - Componente $\vec{j}$: $-(a\cdot 0 - 2\cdot a) = -(-2a) = 2a$ - Componente $\vec{k}$: $a\cdot 1 - (-1)\cdot a = a + a = 2a$ Por tanto: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = (-2, 2a, 2a)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al desarrollar por la segunda columna o usar determinantes, el término en $\vec{j}$ lleva un cambio de signo por su posición.

Calculamos el módulo del vector resultante e igualamos el área a 3: $$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + (2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4 + 4a^2 + 4a^2} = \sqrt{4 + 8a^2}$$ Sustituimos en la fórmula del área: $$\frac{1}{2} \sqrt{4 + 8a^2} = 3 \implies \sqrt{4 + 8a^2} = 6$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$4 + 8a^2 = 36$$ $$8a^2 = 32$$ $$a^2 = 4 \implies a = \pm 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad a = -2}$$

**b) [1 punto] Calcula $a$ para que $O, A$ y $B$ sean coplanarios con el punto $C(1, 1, 0)$.** Cuatro puntos $O, A, B$ y $C$ son coplanarios si los vectores formados a partir de uno de ellos (por ejemplo, el origen $O$) son linealmente dependientes. Esto ocurre si el determinante formado por dichos vectores es igual a cero. Definimos los vectores: $$\vec{OA} = (a, -1, 2)$$ $$\vec{OB} = (a, 1, 0)$$ $$\vec{OC} = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, el volumen del paralelepípedo definido por los vectores es nulo, lo que implica que todos los puntos yacen en el mismo plano.

Calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$ y $\vec{OC}$: $$\text{det}(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) = \begin{vmatrix} a & -1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que tiene dos ceros) para simplificar el cálculo: $$\text{det} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(a \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 2(a - 1)$$ Para que sean coplanarios, el determinante debe ser cero: $$2(a - 1) = 0 \implies a - 1 = 0 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$