Geometría en el espacio 2024 Andalucia
Área de un triángulo con producto vectorial y condición de coplanaridad
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera los puntos $O(0,0,0)$, $A(a,-1,2)$ y $B(a,1,0)$.
a) [1,5 puntos] Determina $a$ para que el triángulo $OAB$ tenga área 3 unidades cuadradas.
b) [1 punto] Calcula $a$ para que $O$, $A$ y $B$ sean coplanarios con el punto $C(1,1,0)$.
Paso 1
Apartado a: área mediante producto vectorial
Apartado a) [1,5 puntos] Determina $a$ para que el triángulo $OAB$ tenga área 3 unidades cuadradas.
Vectores:
$$\overrightarrow{OA}=(a,-1,2),\quad \overrightarrow{OB}=(a,1,0).$$
El área del triángulo es
$$\text{Área}(\triangle OAB)=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\|.$$
Paso 2
Apartado a: calcular el producto vectorial y resolver a
Apartado a) [1,5 puntos] Determina $a$ para que el triángulo $OAB$ tenga área 3 unidades cuadradas.
Calculamos
$$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(a,-1,2)\times(a,1,0).$$
Usando determinante:
$$\begin{align*}
\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}
&=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a&-1&2\\a&1&0\end{vmatrix}
=(-2,\ 2a,\ 2a).
\end{align*}$$
Norma:
$$\begin{align*}
\|(-2,2a,2a)\|&=\sqrt{(-2)^2+(2a)^2+(2a)^2}\\
&=\sqrt{4+4a^2+4a^2}=\sqrt{4+8a^2}=2\sqrt{1+2a^2}.
\end{align*}$$
Área:
$$\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1+2a^2}=\sqrt{1+2a^2}.$$
Imponemos que sea 3:
$$\sqrt{1+2a^2}=3\Rightarrow 1+2a^2=9\Rightarrow 2a^2=8\Rightarrow a^2=4\Rightarrow \boxed{a=\pm 2}.$$
Paso 3
Apartado b: coplanaridad con producto mixto
Apartado b) [1 punto] Calcula $a$ para que $O$, $A$ y $B$ sean coplanarios con el punto $C(1,1,0)$.
Los puntos $O,A,B,C$ son coplanarios si y solo si el volumen del tetraedro $OABC$ es 0, es decir, si el producto mixto vale 0:
$$\det\big(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\big)=0.$$
Tenemos
$$\overrightarrow{OA}=(a,-1,2),\quad \overrightarrow{OB}=(a,1,0),\quad \overrightarrow{OC}=(1,1,0).$$
Calculamos el determinante tomando estas columnas:
$$\det\begin{pmatrix}a&a&1\\-1&1&1\\2&0&0\end{pmatrix}=0.$$
Paso 4
Apartado b: calcular el determinante y hallar a
Apartado b) [1 punto] Calcula $a$ para que $O$, $A$ y $B$ sean coplanarios con el punto $C(1,1,0)$.
Desarrollamos por la tercera fila (tiene dos ceros):
$$\begin{align*}
\det\begin{pmatrix}a&a&1\\-1&1&1\\2&0&0\end{pmatrix}
&=2\cdot\det\begin{pmatrix}a&1\\1&1\end{pmatrix}\\
&=2(a\cdot 1-1\cdot 1)=2(a-1).
\end{align*}$$
Imponemos coplanaridad:
$$2(a-1)=0\Rightarrow a=1.$$
Resultado:
$$\boxed{a=1.}$$
Fuente del enunciado: :contentReference[oaicite:0]{index=0}