Geometría en el espacio: Planos y Rectas

**a) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.** Primero, identificamos los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$ dados: * **Plano $\pi$:** Su vector normal se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación $x - y = 0$: $$\vec{n}_\pi = (1, -1, 0)$$ * **Recta $r$:** De la ecuación continua $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{1}$, extraemos un punto $P_r$ y su vector director $\vec{d}_r$: $$P_r = (1, 0, 2)$$, $$\vec{d}_r = (2, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector director es $(u_1, u_2, u_3)$.

Llamemos $\pi'$ al plano que buscamos. Para que $\pi'$ cumpla las condiciones del enunciado: 1. Debe ser **perpendicular** a $\pi$, por lo que su vector normal $\vec{n}_{\pi'}$ debe ser perpendicular a $\vec{n}_\pi$. 2. Debe **contener** a la recta $r$, por lo que su vector normal $\vec{n}_{\pi'}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{d}_r$. Por tanto, el vector normal $\vec{n}_{\pi'}$ se puede obtener mediante el producto vectorial de $\vec{n}_\pi$ y $\vec{d}_r$: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{n}_\pi \times \vec{d}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{i}(-1 - 0) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(3 - (-2))$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (-1, -1, 5)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a ambos simultáneamente.

La ecuación general del plano $\pi'$ tendrá la forma: $$-1x - 1y + 5z + D = 0 \implies -x - y + 5z + D = 0$$ Como el plano debe contener a la recta $r$, debe pasar por el punto $P_r(1, 0, 2)$. Sustituimos este punto en la ecuación para hallar $D$: $$-1(1) - 1(0) + 5(2) + D = 0$$ $$-1 + 10 + D = 0 \implies 9 + D = 0 \implies D = -9$$ La ecuación del plano es $-x - y + 5z - 9 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' \equiv x + y - 5z + 9 = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, la recta perpendicular a $r$, contenida en $\pi$ y que pasa por el origen.** Sea $s$ la recta que buscamos. Debe cumplir: 1. **Contenida en $\pi$:** Esto implica que su vector director $\vec{d}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, -1, 0)$. Además, el punto por el que pasa (el origen) debe pertenecer al plano $\pi$. * Comprobamos el punto $O(0, 0, 0)$ en $\pi \equiv x - y = 0$: $0 - 0 = 0$. El origen **sí** está en $\pi$. 2. **Perpendicular a $r$:** Esto implica que su vector director $\vec{d}_s$ debe ser perpendicular al vector director de $r$, $\vec{d}_r = (2, 3, 1)$. Al igual que en el apartado anterior, el vector director $\vec{d}_s$ debe ser perpendicular a $\vec{n}_\pi$ y a $\vec{d}_r$, por lo que podemos usar el producto vectorial calculado anteriormente: $$\vec{d}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{d}_r = (-1, -1, 5)$$ Podemos usar también cualquier vector proporcional, por ejemplo $\vec{d}_s = (1, 1, -5)$.

Ya tenemos un punto $O(0, 0, 0)$ y un vector director $\vec{d}_s = (1, 1, -5)$. La forma más sencilla de expresar la recta es en su forma continua o paramétrica. En forma continua: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{-5}$$ O bien, simplificando: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = y = \frac{z}{-5}}$$