Plano y recta perpendiculares: condiciones geométricas en el espacio

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$. El plano $\pi\equiv x-y=0$ tiene vector normal $$\vec n_\pi=(1,-1,0).$$ La recta $$r\equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=z-2=t$$ se parametriza como $$x=1+2t,\quad y=3t,\quad z=2+t.$$ Por tanto, un vector director de $r$ es $$\vec v=(2,3,1),$$ y un punto de $r$ (por ejemplo para $t=0$) es $$P_0(1,0,2).$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$. Sea $\alpha$ el plano buscado. Como $\alpha$ contiene a $r$, su normal $\vec n_\alpha$ debe ser perpendicular a $\vec v$: $$\vec n_\alpha\cdot \vec v=0.$$ Además, como $\alpha$ es perpendicular a $\pi$, sus normales son perpendiculares: $$\vec n_\alpha\cdot \vec n_\pi=0.$$ Por tanto, $\vec n_\alpha$ debe ser perpendicular a $\vec v$ y a $\vec n_\pi$, así que podemos tomar $$\vec n_\alpha=\vec v\times \vec n_\pi.$$ Calculamos: $$\vec v\times\vec n_\pi=(2,3,1)\times(1,-1,0)=(1,1,-5).$$ Ecuación del plano $\alpha$ que pasa por $P_0(1,0,2)$: $$\vec n_\alpha\cdot\big((x,y,z)-(1,0,2)\big)=0$$ $$1(x-1)+1(y-0)-5(z-2)=0$$ $$x-1+y-5z+10=0\Rightarrow \boxed{x+y-5z+9=0}.$$

Apartado b) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, la recta perpendicular a $r$, contenida en $\pi$ y que pasa por el origen. Buscamos una recta $\ell$ que: 1) pase por el origen $O(0,0,0)$, 2) esté contenida en $\pi: x-y=0$, 3) sea perpendicular a $r$ (a su dirección $\vec v=(2,3,1)$). Si $\ell$ está contenida en $\pi$, su vector director $\vec w=(w_1,w_2,w_3)$ debe cumplir que al avanzar en la dirección $\vec w$ se sigue verificando $x-y=0$. Eso implica $$w_1-w_2=0\Rightarrow w_1=w_2.$$ Podemos escribir $$\vec w=(k,k,m).$$ Además, perpendicularidad a $r$: $$\vec w\cdot\vec v=0\Rightarrow (k,k,m)\cdot(2,3,1)=2k+3k+m=5k+m=0\Rightarrow m=-5k.$$ Tomamos $k=1$ y obtenemos $$\vec w=(1,1,-5).$$

Apartado b) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, la recta perpendicular a $r$, contenida en $\pi$ y que pasa por el origen. La recta que pasa por $O(0,0,0)$ con dirección $\vec w=(1,1,-5)$ es: $$\boxed{\ell:\ (x,y,z)=(0,0,0)+t(1,1,-5),\ t\in\mathbb{R}.}$$ En forma paramétrica: $$\boxed{\begin{cases} x=t,\\y=t,\\z=-5t. \end{cases}}$$