Matrices con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) [1,5 puntos] Sabiendo que $A$ verifica la identidad $(A + a I)^2 = b I$, halla $a$ y $b$.** En primer lugar, expresamos la matriz $A + aI$ sumando a la matriz $A$ la matriz identidad multiplicada por el escalar $a$: $$A + aI = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + a & 3 \\ -2 & 5 + a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ de orden 2 es $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Al multiplicar un escalar por una matriz, este multiplica a todos sus elementos.

Calculamos el producto de la matriz por sí misma para obtener $(A + aI)^2$: $$(A + aI)^2 = \begin{pmatrix} 1 + a & 3 \\ -2 & 5 + a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + a & 3 \\ -2 & 5 + a \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Elemento (1,1): $(1+a)(1+a) + 3(-2) = a^2 + 2a + 1 - 6 = a^2 + 2a - 5$ - Elemento (1,2): $(1+a)(3) + 3(5+a) = 3 + 3a + 15 + 3a = 6a + 18$ - Elemento (2,1): $(-2)(1+a) + (5+a)(-2) = -2 - 2a - 10 - 2a = -4a - 12$ - Elemento (2,2): $(-2)(3) + (5+a)(5+a) = -6 + a^2 + 10a + 25 = a^2 + 10a + 19$ Obtenemos: $$(A + aI)^2 = \begin{pmatrix} a^2 + 2a - 5 & 6a + 18 \\ -4a - 12 & a^2 + 10a + 19 \end{pmatrix}$$

Planteamos la igualdad $(A + aI)^2 = bI$: $$\begin{pmatrix} a^2 + 2a - 5 & 6a + 18 \\ -4a - 12 & a^2 + 10a + 19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos deben serlo. Igualamos los elementos que no contienen a $b$ para hallar $a$: 1. $6a + 18 = 0 \implies 6a = -18 \implies \mathbf{a = -3}$ 2. $-4a - 12 = 0 \implies -4a = 12 \implies \mathbf{a = -3}$ Ahora sustituimos $a = -3$ en los elementos de la diagonal para hallar $b$: - $b = a^2 + 2a - 5 = (-3)^2 + 2(-3) - 5 = 9 - 6 - 5 = \mathbf{-2}$ - $b = a^2 + 10a + 19 = (-3)^2 + 10(-3) + 19 = 9 - 30 + 19 = \mathbf{-2}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3, \quad b = -2}$$

**b) [1 punto] Resuelve la ecuación $M X + M^2 = I$.** Primero aislamos el término que contiene la matriz $X$: $$MX = I - M^2$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $M^{-1}$, siempre que esta exista ($\det(M) \neq 0$): $$X = M^{-1} (I - M^2)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es crucial. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $$\det(M) = (0 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = -1$$ Como $\det(M) \neq 0$, existe $M^{-1}$. La calculamos mediante la matriz adjunta traspuesta: $$\text{adj}(M) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M)^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos primero $M^2$: $$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $I - M^2$: $$I - M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = M^{-1} (I - M^2)$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ - Elemento (1,1): $(-1)(0) + (1)(-1) = -1$ - Elemento (1,2): $(-1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$ - Elemento (2,1): $(1)(0) + (0)(-1) = 0$ - Elemento (2,2): $(1)(-1) + (0)(-1) = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I}$$