Identidades y ecuaciones matriciales

**a) [1,5 puntos] Sabiendo que $A$ verifica la identidad $(A + a I)^2 = b I$, halla $a$ y $b$.** En primer lugar, calculamos la matriz resultante de la suma $A + aI$, donde $a$ es un escalar: $$A + a I = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al sumar una matriz con la identidad multiplicada por un escalar, solo se ven afectados los elementos de la diagonal principal.

Ahora calculamos el cuadrado de la matriz obtenida multiplicándola por sí misma: $$(A + a I)^2 = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Elemento $(1,1)$: $(1+a)(1+a) + 3(-2) = (1+a)^2 - 6 = a^2 + 2a + 1 - 6 = a^2 + 2a - 5$ - Elemento $(1,2)$: $(1+a)(3) + 3(5+a) = 3 + 3a + 15 + 3a = 6a + 18$ - Elemento $(2,1)$: $(-2)(1+a) + (5+a)(-2) = -2 - 2a - 10 - 2a = -4a - 12$ - Elemento $(2,2)$: $(-2)(3) + (5+a)(5+a) = -6 + (5+a)^2 = -6 + a^2 + 10a + 25 = a^2 + 10a + 19$ Obtenemos: $$(A + a I)^2 = \begin{pmatrix} a^2 + 2a - 5 & 6a + 18 \\ -4a - 12 & a^2 + 10a + 19 \end{pmatrix}$$

Igualamos el resultado a la matriz $bI = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} a^2 + 2a - 5 & 6a + 18 \\ -4a - 12 & a^2 + 10a + 19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, sus elementos correspondientes deben serlo. Esto nos da un sistema de ecuaciones. Empezamos por los elementos que deben ser $0$: 1) $6a + 18 = 0 \implies 6a = -18 \implies \mathbf{a = -3}$ 2) $-4a - 12 = 0 \implies -4(-3) - 12 = 12 - 12 = 0$ (se cumple) Ahora sustituimos $a = -3$ en las ecuaciones de la diagonal para hallar $b$: 3) $b = a^2 + 2a - 5 = (-3)^2 + 2(-3) - 5 = 9 - 6 - 5 = \mathbf{-2}$ 4) $b = a^2 + 10a + 19 = (-3)^2 + 10(-3) + 19 = 9 - 30 + 19 = -2$ (se cumple) ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3, \quad b = -2}$$

**b) [1 punto] Resuelve la ecuación $MX + M^2 = I$.** Primero aislamos el término que contiene a $X$: $$MX = I - M^2$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $M$ (si existe): $$X = M^{-1}(I - M^2)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los productos es fundamental. Como $M$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda a todo el segundo miembro.

Calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $$|M| = (0 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = -1$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos su inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$$ Matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$M^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo a los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

Calculamos primero $M^2$: $$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $I - M^2$: $$I - M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Sustituimos los valores en la expresión de $X$: $$X = M^{-1}(I - M^2) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos: - Fila 1: $(-1)(0) + (1)(-1) = -1$; $(-1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$ - Fila 2: $(1)(0) + (0)(-1) = 0$; $(1)(-1) + (0)(-1) = -1$ $$X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Nota: También se puede expresar como $X = -I$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$